차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)

수학노트
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개요

  • 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
  • finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
  • 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
    • 계차수열 ~ 미분
    • 부분합 ~ 적분



계차수열과 부분합

  • 계차수열
  • 두 수열 $F, f$ 는 \(\Delta F=f\)을 만족하는 두 수열이다. 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)
  • 미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 \(\Delta F=f\) 로 표현하자.
정리

두 수열 $F, f$가 \(\Delta F=f\)를 만족하면, 다음이 성립한다 \[\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\]

증명

\[F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)\]

  • 수열 $f$ 에 대하여 \(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\) 는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다


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