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그런데 [http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere 위키피디아의 n-구 항목]에 따르면 n+1차원 공간에서 원점으로부터 거리가 같은 점들의 집합이 n-구(n-sphere)로 정의되며 n이 2보다 큰 경우에 대해서만 종종 초구라고 불린다네요. n-구는 n+1차원에서 정의되지만 이 표현은 'n차원 공간에서 정의된 구'로 읽힐 수도 있으므로, 혼동을 피하기 위해 n차원에서 정의된 구라는 의미에서 '초구'라는 표현을 쓰겠습니다. | 그런데 [http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere 위키피디아의 n-구 항목]에 따르면 n+1차원 공간에서 원점으로부터 거리가 같은 점들의 집합이 n-구(n-sphere)로 정의되며 n이 2보다 큰 경우에 대해서만 종종 초구라고 불린다네요. n-구는 n+1차원에서 정의되지만 이 표현은 'n차원 공간에서 정의된 구'로 읽힐 수도 있으므로, 혼동을 피하기 위해 n차원에서 정의된 구라는 의미에서 '초구'라는 표현을 쓰겠습니다. | ||
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| + | 초구의 직교좌표(x)와 극좌표(r, φ)와의 관계는 다음과 같습니다. | ||
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| + | 대충 규칙이 보이죠? φ<sub>n-1</sub>만 0부터 2π 사이의 값을 갖고 나머지 각도들은 0부터 π까지라고 합니다. 일단 3차원 극좌표만 생각해보면 맞습니다. [[N차원 구면의 매개화]] 항목을 참조. | ||
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| + | 이제 이걸 이용해서 n차원 공간의 부피요소(volume element)를 극좌표 형식으로 다음처럼 얻습니다. | ||
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| + | 다음으로 반지름이 R인 n차원 초구의 부피 V<sub>n</sub>을 구하겠습니다. 위 부피요소를 r만 0부터 R까지, 그리고 모든 각도 범위에 대해 적분해주면 나오겠죠. 저는 패쓰리아(R.K. Pathria)의 <Statistical Mechanics(통계역학)>의 부록 C(504쪽부터)를 참고하여 좀더 간단한(?) 방식으로 구해보겠습니다. 우선 V<sub>n</sub>은 R의 n제곱에 비례하므로 계수 C<sub>n</sub>을 이용해 다음처럼 씁니다. | ||
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| + | <math>V_n(R)=C_nR^n,\ dV_n=nC_n R^{n-1}dR\equiv S_n(R)dR</math> | ||
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| + | <math>\pi^{1/2}=\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2)dx</math> | ||
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| + | 위 식을 n번 곱하는데 x의 지수(index)를 모두 다르게 해서 써줍니다. | ||
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| + | \pi^{n/2}&=&\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\exp(-\sum_{i=1}^nx_i^2)\prod_{i=1}^ndx_i\\ &=&\int_0^\infty\exp(-R^2)nC_nR^{n-1}dR\\ &=&nC_n\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)=\left(\frac{n}{2}\right)!C_n | ||
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| + | 이렇게 C<sub>n</sub>을 구하면 부피와 표면적도 모두 바로 얻어집니다. [[N차원 구면의 부피(면적)]] 항목 참조 | ||
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| + | 다음 글에서는 이를 바탕으로 [[1차원 n-벡터 모형]]을 풀어보겠습니다. | ||
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| + | [[분류:통계물리]] | ||
| + | [[분류:평형 통계물리]] | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q306610 Q306610] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'n'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'sphere'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'n'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'dimensional'}, {'LEMMA': 'sphere'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 03:28 기준 최신판
개요
n-벡터 스핀 모형을 풀기 위해서는 초구(hypersphere)에 대한 기초적인 지식이 필요합니다. n-벡터 스핀이란 그 값이 n차원에서 정의되는 스핀을 가리킵니다. 스핀의 차원은 스핀이 놓여있는 공간의 차원과는 별도로 정의될 수 있습니다. 이를테면 인간은 3차원 공간에 살지만 그 인간의 의견은 100차원이 될 수도 있습니다. n-벡터 스핀의 값은 초구의 표면을 이루겠죠. 초구는 일반적인 n차원 공간에서 정의되는 구입니다.
그런데 위키피디아의 n-구 항목에 따르면 n+1차원 공간에서 원점으로부터 거리가 같은 점들의 집합이 n-구(n-sphere)로 정의되며 n이 2보다 큰 경우에 대해서만 종종 초구라고 불린다네요. n-구는 n+1차원에서 정의되지만 이 표현은 'n차원 공간에서 정의된 구'로 읽힐 수도 있으므로, 혼동을 피하기 위해 n차원에서 정의된 구라는 의미에서 '초구'라는 표현을 쓰겠습니다.
매개화
초구의 직교좌표(x)와 극좌표(r, φ)와의 관계는 다음과 같습니다. \[ \begin{aligned} x_1&=&r\cos\phi_1,\\ x_2&=&r\sin\phi_1\cos\phi_2,\\ x_3&=&r\sin\phi_1\sin\phi_2\cos\phi_3,\\ &\cdots&\\ x_{n-1}&=&r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1},\\ x_n&=&r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1} \end{aligned} \]
대충 규칙이 보이죠? φn-1만 0부터 2π 사이의 값을 갖고 나머지 각도들은 0부터 π까지라고 합니다. 일단 3차원 극좌표만 생각해보면 맞습니다. N차원 구면의 매개화 항목을 참조.
자코비안
이제 이걸 이용해서 n차원 공간의 부피요소(volume element)를 극좌표 형식으로 다음처럼 얻습니다.
\(dV_n=\prod_{i=1}^n dx_i=\left|\det\frac{\partial x_i}{\partial(r,\phi_j)}\right|drd\phi_1\cdots d\phi_{n-1}\)
맨 오른쪽 식의 기다란 작대기 사이에 있는 건 좌표변환을 할 때 부피를 보존하기 위한 건데 자코비안이라 불립니다. 계산해주면 다음 결과를 얻습니다. \[dV_n=r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}drd\phi_1\cdots d\phi_{n-1}\]
부피
다음으로 반지름이 R인 n차원 초구의 부피 Vn을 구하겠습니다. 위 부피요소를 r만 0부터 R까지, 그리고 모든 각도 범위에 대해 적분해주면 나오겠죠. 저는 패쓰리아(R.K. Pathria)의 <Statistical Mechanics(통계역학)>의 부록 C(504쪽부터)를 참고하여 좀더 간단한(?) 방식으로 구해보겠습니다. 우선 Vn은 R의 n제곱에 비례하므로 계수 Cn을 이용해 다음처럼 씁니다.
\(V_n(R)=C_nR^n,\ dV_n=nC_n R^{n-1}dR\equiv S_n(R)dR\)
그러면 위 오른쪽 식들로부터 반지름이 R인 초구의 표면적 즉 Sn(R)도 Cn을 이용해 정의됩니다. 이제 잘 알려진 적분식에서 시작하겠습니다.
\(\pi^{1/2}=\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2)dx\)
위 식을 n번 곱하는데 x의 지수(index)를 모두 다르게 해서 써줍니다.
\( \begin{aligned} \pi^{n/2}&=&\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\exp(-\sum_{i=1}^nx_i^2)\prod_{i=1}^ndx_i\\ &=&\int_0^\infty\exp(-R^2)nC_nR^{n-1}dR\\ &=&nC_n\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)=\left(\frac{n}{2}\right)!C_n \end{aligned} \)
이렇게 Cn을 구하면 부피와 표면적도 모두 바로 얻어집니다. N차원 구면의 부피(면적) 항목 참조
다음 글에서는 이를 바탕으로 1차원 n-벡터 모형을 풀어보겠습니다.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q306610
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'n'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'sphere'}]
- [{'LOWER': 'n'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'dimensional'}, {'LEMMA': 'sphere'}]