초구(hypersphere)

n-벡터 스핀 모형을 풀기 위해서는 초구(hypersphere)에 대한 기초적인 지식이 필요합니다. n-벡터 스핀이란 그 값이 n차원에서 정의되는 스핀을 가리킵니다. 스핀의 차원은 스핀이 놓여있는 공간의 차원과는 별도로 정의될 수 있습니다. 이를테면 인간은 3차원 공간에 살지만 그 인간의 의견은 100차원이 될 수도 있습니다. n-벡터 스핀의 값은 초구의 표면을 이루겠죠. 초구는 일반적인 n차원 공간에서 정의되는 구입니다.

그런데 위키피디아의 n-구 항목에 따르면 n+1차원 공간에서 원점으로부터 거리가 같은 점들의 집합이 n-구(n-sphere)로 정의되며 n이 2보다 큰 경우에 대해서만 종종 초구라고 불린다네요. n-구는 n+1차원에서 정의되지만 이 표현은 'n차원 공간에서 정의된 구'로 읽힐 수도 있으므로, 혼동을 피하기 위해 n차원에서 정의된 구라는 의미에서 '초구'라는 표현을 쓰겠습니다.

초구의 직교좌표(x)와 극좌표(r, φ)와의 관계는 다음과 같습니다.

\(x_1&=&r\cos\phi_1,\\ x_2&=&r\sin\phi_1\cos\phi_2,\\ x_3&=&r\sin\phi_1\sin\phi_2\cos\phi_3,\\ &\cdots&\\ x_{n-1}&=&r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1},\\ x_n&=&r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}\)

대충 규칙이 보이죠? φ_n-1만 0부터 2π 사이의 값을 갖고 나머지 각도들은 0부터 π까지라고 합니다. 일단 3차원 극좌표만 생각해보면 맞습니다. 이제 이걸 이용해서 n차원 공간의 부피요소(volume element)를 극좌표 형식으로 다음처럼 얻습니다.

\(dV_n=\prod_{i=1}^n dx_i=\left|\det\frac{\partial x_i}{\partial(r,\phi_j)}\right|drd\phi_1\cdots d\phi_{n-1}\)

맨 오른쪽 식의 기다란 작대기 사이에 있는 건 좌표변환을 할 때 부피를 보존하기 위한 건데 야코비안 또는 야코비의 행렬식이라 불립니다. 계산해주면 다음 결과를 얻습니다.

\(dV_n=r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}drd\phi_1\cdots d\phi_{n-1}\)

다음으로 반지름이 R인 n차원 초구의 부피 V_n을 구하겠습니다. 위 부피요소를 r만 0부터 R까지, 그리고 모든 각도 범위에 대해 적분해주면 나오겠죠. 저는 패쓰리아(R.K. Pathria)의 <Statistical Mechanics(통계역학)>의 부록 C(504쪽부터)를 참고하여 좀더 간단한(?) 방식으로 구해보겠습니다. 우선 V_n은 R의 n제곱에 비례하므로 계수 C_n을 이용해 다음처럼 씁니다.

\(V_n(R)=C_nR^n,\ dV_n=nC_n R^{n-1}dR\equiv S_n(R)dR\)

그러면 위 오른쪽 식들로부터 반지름이 R인 초구의 표면적 즉 S_n(R)도 C_n을 이용해 정의됩니다. 이제 잘 알려진 적분식에서 시작하겠습니다.

\(\pi^{1/2}=\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2)dx\)

위 식을 n번 곱하는데 x의 지수(index)를 모두 다르게 해서 써줍니다.

\(\pi^{n/2}&=&\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\exp(-\sum_{i=1}^nx_i^2)\prod_{i=1}^ndx_i\\ &=&\int_0^\infty\exp(-R^2)nC_nR^{n-1}dR\\ &=&nC_n\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)=\left(\frac{n}{2}\right)!C_n\)

이렇게 C_n을 구하면 부피와 표면적도 모두 바로 얻어집니다. 다음글에서는 이를 바탕으로 n-벡터 스핀 모형을 풀어보겠습니다.