초기하급수(Hypergeometric series)
개요
- 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
- 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
- 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
- q-analogue 에 대해서는 Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 항목을 참조
정의
- 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우\[\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\]\[\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\] 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
- 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다\[\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\]
여기서 \(c,d\)는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수
- 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다
\[1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\]
- 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다\[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\]
- 여기서 Pochhammer 기호\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다\[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\]
오일러-가우스 초기하급수
- 오일러-가우스 초기하함수에서 다룸
\[\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\]
예
- 지수함수\[e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\]\[\beta_n = \frac{1}{n!}\]\[\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\]
- 이항급수\[(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)\]
- \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
- 타원적분
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)\[E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\]
well-poised
k-balanced
Clausen 항등식
\[\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \]
란덴변환(Landen's transformation) \[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]
메모
재미있는 사실
- Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨
관련된 항목들
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)
- 자코비 세타함수
- Schwarz-Christoffel mappings
- 란덴변환(Landen's transformation)
- 오차방정식과 정이십면체
- 슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)
계산 리소스
수학용어번역
- hypergeometric - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하
- http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hypergeometric_identities
- http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
관련도서
- Zeev Nehari Conformal Mapping, Dover Publications, 1982-1
관련논문
- Jenny Fuselier, Ling Long, Ravi Ramakrishna, Holly Swisher, Fang-Ting Tu, Hypergeometric Functions over Finite Fields, arXiv:1510.02575[math.NT], October 09 2015, http://arxiv.org/abs/1510.02575v2
- Fuselier, Jenny, Ling Long, Ravi Ramakrishna, Holly Swisher, and Fang-Ting Tu. “Hypergeometric Functions over Finite Fields.” arXiv:1510.02575 [math], October 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02575.
- Gil, A., J. Segura, and N. M. Temme. “Computing the Kummer Function U(a,b,z) for Small Values of the Arguments.” arXiv:1509.05167 [math], September 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.05167.
- Pearson, John W., Sheehan Olver, and Mason A. Porter. ‘Numerical Methods for the Computation of the Confluent and Gauss Hypergeometric Functions’. arXiv:1407.7786 [math-Ph, Physics:physics], 29 July 2014. http://arxiv.org/abs/1407.7786.
- George E. Andrews Euler's "De Partitio Numerorum", Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
- R Askey Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
- George E. Andrews Applications of Basic Hypergeometric Functions, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)