"카탈란 상수"의 두 판 사이의 차이

2010년 6월 5일 (토) 11:41 판

정의
\(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수
많은 정적분에 등장함

로바체프스키와 클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
이로부터 다음을 알 수 있다

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\)
그 밖의 정적분 표현
\(G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\)
\(G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\)
\(G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\)
dilogarithm 함수
디리클레 L-함수

라이프니츠 급수
\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자
\(G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\)

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−	<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">~~재미있는 사실~~</h5>	+	<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>

−		+	http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf