"카탈란 상수"의 두 판 사이의 차이

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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01028464 Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01028464 Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.]<br>
 
** Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434
 
** Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434
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*  Dimer problem in statistical mechanics-an exact result<br>
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** H. N. V. Temperley; Michael E. Fisher, Philosophical Magazine, Volume 6, Issue 68 August 1961 , pages 1061 - 1063
 
* [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.124.1664 Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.124.1664 Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice]<br>
 
** Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961)
 
** Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961)

2010년 11월 27일 (토) 06:29 판

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개요
  • 정의
    \(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
    여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수
  • 많은 정적분에 등장함

 

 

 

적분표현
  • 로바체프스키와 클라우센 함수
    \(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
    \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
    이로부터 다음을 알 수 있다
    \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\)
    \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\)
  • 그 밖의 정적분 표현
    \(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\)
    \(G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\)
    \(G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\)
    \(G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\)
    \(\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\)
  • dilogarithm 함수

 

 

타원적분과의 관계

 

 

라이프니츠 급수와의 비교
  • 라이프니츠 급수
    \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

 

 

오일러-맥클로린 공식을 통한 계산
  • 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자
    \(G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\)

 

 

다이머 모델(dimer model)
  • 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 \(G/\pi\)

 

 

 

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