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* 정의<br><math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br> 여기서 <math>\beta(s)</math> 는 [[디리클레 베타함수]]<br> | * 정의<br><math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br> 여기서 <math>\beta(s)</math> 는 [[디리클레 베타함수]]<br> | ||
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br> 이로부터 다음을 알 수 있다<br><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}</math><br><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}</math><br> | * [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br> 이로부터 다음을 알 수 있다<br><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}</math><br><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}</math><br> | ||
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1 K(k) \,dk=2G</math><br> | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1 K(k) \,dk=2G</math><br> | ||
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| − | + | ==오일러-맥클로린 공식을 통한 계산== | |
* [[오일러-맥클로린 공식]]을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자<br><math>G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}</math><br> | * [[오일러-맥클로린 공식]]을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자<br><math>G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}</math><br> | ||
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* 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 <math>G/\pi</math>를 사용하여 표현됨<br> | * 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 <math>G/\pi</math>를 사용하여 표현됨<br> | ||
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* [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]]<br> | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]]<br> | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
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* [http://www.cs.cmu.edu/%7Eadamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan's constant]<br> | * [http://www.cs.cmu.edu/%7Eadamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan's constant]<br> | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
* [http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] | * [http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] | ||
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| − | + | ==관련도서 및 추천도서== | |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | * 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | ||
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | ||
2012년 11월 1일 (목) 14:27 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 정의
\(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수 - 많은 정적분에 등장함
적분표현
- 로바체프스키와 클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
이로부터 다음을 알 수 있다
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\) - 그 밖의 정적분 표현
\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\)
\(G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\)
\(G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\)
\(G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\)
\(\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\) - dilogarithm 함수
타원적분과 카탈란
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(\int_0^1 K(k) \,dk=2G\) - 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
제2종타원적분 E\(\int_0^1 E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G\)
라이프니츠 급수와의 비교
- 라이프니츠 급수
\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)
오일러-맥클로린 공식을 통한 계산
- 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자
\(G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\)
다이머 모형(dimer model)
- 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 \(G/\pi\)를 사용하여 표현됨
메모[1]
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
-
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Catalan+constant[2]
관련링크와 웹페이지
관련논문
- An Apéry-like difference equation for Catalan's constant
- The asymptotic determinant of the discrete Laplacian
- Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000
- Several constants arising in statistical mechanics
- Steven R. Finch, Annals of Combinatorics Volume 3, Numbers 2-4, 323-335, 1999
- Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.
- Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434
- Dimer problem in statistical mechanics-an exact result
- H. N. V. Temperley; Michael E. Fisher, Philosophical Magazine, Volume 6, Issue 68 August 1961 , pages 1061 - 1063
- Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice
- Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961)
- The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice
- Kasteleyn, P. W. (1961), Physica 27 (12): 1209–1225
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=dimer
- http://dx.doi.org/10.1080/14786436108243366
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
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관련기사
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