"카탈란 상수"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 정의:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math> | + | * 정의 |
| − | * 많은 정적분에 등장함 | + | :<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math> |
| + | 여기서 <math>\beta(s)</math> 는 [[디리클레 베타함수]] | ||
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| − | * [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math>:<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math> | + | * [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] |
| − | * 그 밖의 정적분 표현:<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G</math>:<math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt</math>:<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy</math>:<math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt</math>:<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G</math | + | :<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math> |
| − | * [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]] | + | :<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math> |
| + | 이로부터 다음을 알 수 있다:<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}</math>:<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}</math> | ||
| + | * 그 밖의 정적분 표현:<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G</math>:<math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt</math>:<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy</math>:<math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt</math>:<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G</math> | ||
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==오일러-맥클로린 공식을 통한 계산== | ==오일러-맥클로린 공식을 통한 계산== | ||
| − | * [[오일러-맥클로린 공식]]을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자:<math>G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}</math | + | * [[오일러-맥클로린 공식]]을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자:<math>G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}</math> |
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| − | * 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 <math>G/\pi</math>를 사용하여 표현됨 | + | * 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 <math>G/\pi</math>를 사용하여 표현됨 |
* [[사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)]] 참조 | * [[사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)]] 참조 | ||
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| + | * http://mathoverflow.net/questions/181635/conjectured-integral-for-catalans-constant | ||
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| + | * [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]] | ||
| + | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | ||
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| − | * | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_constant |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function | ||
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==관련링크와 웹페이지== | ==관련링크와 웹페이지== | ||
| − | * [http://www.cs.cmu.edu/%7Eadamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan's constant] | + | * [http://www.cs.cmu.edu/%7Eadamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan's constant] |
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* [http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] | * [http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF02392811 The asymptotic determinant of the discrete Laplacian] | + | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF02392811 The asymptotic determinant of the discrete Laplacian] |
** Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000 | ** Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000 | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF01608791 Several constants arising in statistical mechanics] | + | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF01608791 Several constants arising in statistical mechanics] |
** Steven R. Finch, Annals of Combinatorics Volume 3, Numbers 2-4, 323-335, 1999 | ** Steven R. Finch, Annals of Combinatorics Volume 3, Numbers 2-4, 323-335, 1999 | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF01028464 Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.] | + | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF01028464 Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.] |
** Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434 | ** Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434 | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1080/14786436108243366 Dimer problem in statistical mechanics-an exact result] | + | * [http://dx.doi.org/10.1080/14786436108243366 Dimer problem in statistical mechanics-an exact result] |
** H. N. V. Temperley; Michael E. Fisher, Philosophical Magazine, Volume 6, Issue 68 August 1961 , pages 1061 - 1063 | ** H. N. V. Temperley; Michael E. Fisher, Philosophical Magazine, Volume 6, Issue 68 August 1961 , pages 1061 - 1063 | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.124.1664 Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice] | + | * [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.124.1664 Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice] |
** Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961) | ** Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961) | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4842-8_20 The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice] | + | * [http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4842-8_20 The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice] |
** Kasteleyn, P. W. (1961), Physica 27 (12): 1209–1225 | ** Kasteleyn, P. W. (1961), Physica 27 (12): 1209–1225 | ||
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2015년 8월 8일 (토) 04:21 판
개요
- 정의
\[G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\] 여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수
- 많은 정적분에 등장함
적분표현
\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\] \[\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\] 이로부터 다음을 알 수 있다\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\]\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\]
- 그 밖의 정적분 표현\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\]\[G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\]\[G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\]\[G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\]\[\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\]
- dilogarithm 함수
타원적분과 카탈란
\[\int_0^1 K(k) \,dk=2G\]
\[\int_0^1 E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G\]
라이프니츠 급수와의 비교
- 라이프니츠 급수\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]
오일러-맥클로린 공식을 통한 계산
- 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자\[G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\]
수학에서의 등장
다이머 모형(dimer model)
- 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 \(G/\pi\)를 사용하여 표현됨
- 사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem) 참조
쌍곡기하학
메모[1]
역사
관련된 항목들
- L-함수, 제타함수와 디리클레 급수
- 디리클레 L-함수
- 디리클레 베타함수
- 르장드르 카이 함수
- 로바체프스키와 클라우센 함수
- 라이프니츠 급수
- 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
- 로그 사인 적분 (log sine integrals)
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
관련링크와 웹페이지
관련논문
- An Apéry-like difference equation for Catalan's constant
- The asymptotic determinant of the discrete Laplacian
- Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000
- Several constants arising in statistical mechanics
- Steven R. Finch, Annals of Combinatorics Volume 3, Numbers 2-4, 323-335, 1999
- Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.
- Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434
- Dimer problem in statistical mechanics-an exact result
- H. N. V. Temperley; Michael E. Fisher, Philosophical Magazine, Volume 6, Issue 68 August 1961 , pages 1061 - 1063
- Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice
- Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961)
- The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice
- Kasteleyn, P. W. (1961), Physica 27 (12): 1209–1225