카탈란 상수

개요

• 정의

\[G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\] 여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수

• 많은 정적분에 등장함

적분표현

• 로바체프스키와 클라우센 함수

\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\] \[\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\] 이로부터 다음을 알 수 있다\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\]\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\]

• 그 밖의 정적분 표현\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\]\[G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\]\[G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\]\[G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\]\[\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\]
• dilogarithm 함수

타원적분과 카탈란

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

\[\int_0^1 K(k) \,dk=2G\]

• 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)

\[\int_0^1 E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G\]

라이프니츠 급수와의 비교

• 라이프니츠 급수\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]

오일러-맥클로린 공식을 통한 계산

• 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자\[G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\]

수학에서의 등장

다이머 모형(dimer model)

• 사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 \(G/\pi\)를 사용하여 표현됨
• 사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem) 참조

쌍곡기하학

• http://mathoverflow.net/questions/181635/conjectured-integral-for-catalans-constant
• Catalan's constant G is one quarter the (three dimensional) volume of a regular ideal octahedron or the volume of an ideal tetrahedron with dihedral angles \(\pi/2,\pi/4,\pi/4\)
• Whitehead link complement, is well known to be isometric to a regular ideal octahedron with faces identified in pairs, volume=4G

메모

• http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf

관련된 항목들

• L-함수, 제타함수와 디리클레 급수
• 디리클레 L-함수
• 디리클레 베타함수
• 르장드르 카이 함수
• 로바체프스키 함수
• 라이프니츠 급수
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• 로그 사인 적분 (log sine integrals)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_constant
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function

관련링크와 웹페이지

• 33 representations for Catalan's constant

관련논문

• An Apéry-like difference equation for Catalan's constant
• The asymptotic determinant of the discrete Laplacian
  • Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000
• Several constants arising in statistical mechanics
  • Steven R. Finch, Annals of Combinatorics Volume 3, Numbers 2-4, 323-335, 1999
• Exact partition functions and correlation functions of multiple Hamiltonian walks on the Manhattan lattice.
  • Duplantier, B. &David, F., , J. Statist. Phys., 51 (1988), 327–434
• Dimer problem in statistical mechanics-an exact result
  • H. N. V. Temperley; Michael E. Fisher, Philosophical Magazine, Volume 6, Issue 68 August 1961 , pages 1061 - 1063
• Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice
  • Michael E. Fisher , Phys. Rev. 124, 1664–1672 (1961)
• The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice
  • Kasteleyn, P. W. (1961), Physica 27 (12): 1209–1225

메타데이터

위키데이터

• ID : Q347351

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'Catalan'}]