카탈란 수 (Catalan numbers)

수학노트
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개요

  • 조합수학에서 빈번하게 등장하는 수열의 하나
  • (0,0)에서 (n,n)까지 격자점을 지나는 최단거리의 경로 중에서 직선 \(y=x\)를 넘지 않는 경우의 수
  • \(n\geq 0 \)에 대하여 다음과 같이 주어짐\[c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}\]
  • 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,…

카탈란 수열(Catalan numbers)1.png  

 

점화식

  • 다음의 점화식이 성립한다

\(c_{n+1}=c_0c_n+c_1c_{n-1}+\cdots+c_nc_0 \tag{1}\)

$$ (n+2)c_{n+1}+(-4 n-2)c_{n}=0 $$  

 

생성함수

  • 기본적인 내용에 대해서는  생성함수 항목을 참조
  • 카탈란 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어짐

\[G(x)= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\]

증명

생성함수를 다음과 같이 두자 $$G(x)= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots$$ 다음을 얻을 수 있다 \[x G(x)^2= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots)^2=c_0^2x+(c_0c_1+c_1c_0)x^2+(c_0c_2+c_1c_1+c_2c_0)x^3+\cdots=G(x)-1\] 여기에 (1) 을 이용하면, \[x G(x)^2-G(x)+1=0\] 따라서 \[G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\]■

 

 

점근 급수

  • 멱급수 $(1-x)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$의 계수는 다음과 같은 점근 급수를 갖는다

$$ a_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{1}{8 n}+\frac{1}{128 n^2}+\frac{5}{1024 n^3}+O(\frac{1}{n^4})\right) $$

  • 카탈란 상수는 다음을 만족한다

$$ c_n=\frac{4^n}{n+1}a_n \sim \frac{4^n}{(n+1)\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{1}{8 n}+\frac{1}{128 n^2}+\frac{5}{1024 n^3}+O(\frac{1}{n^4})\right) $$

\[c_{n}\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}(n+1)}(1-\frac{1}{8n})\]

 

격자경로와 카탈란 수

증명의 아이디어

  • (0,0)에서 (n,n)까지 격자점을 지나는 최단거리의 경로의 수

\[{2n \choose n}\]

  • (0,0)에서 (n,n)까지 격자점을 지나는 최단거리의 경로 중에서 직선 \(y=x\)를 넘지 않는 경우의 수 (카탈란 수)

$$\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$$

  • (0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 구한 다음, 그 중에서 y=x를 넘어서 가는 방법의 수를 빼면 된다. 이 방법의 수가 얼마가 되겠느냐를 구하는 과정에서 일대일대응이 등장한다.

 

일단계

(0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 구해 보자.
이것은 매우 간단한 문제인데, 일대일대응을 통하여 문제를 풀어보자. 각 경로에서 x축으로 움직이는 것을 X로 표시하고 y축으로 움직이는 것을 Y로 표시하면, 각 경로는 X와Y를 n개 씩 쓴 문자열로 표현된다. 이것이 일대일 대응이다. 각각의 경로는 서로 다른 문자열로 표현될테고, 문자열은 또한 어떤 경로를 표현할테니까 말이다. 따라서 죽 늘어놓은 2n개 중에서 n개를 골라 X라고 써 놓으면 나머지 위치는 Y가 될 것이고 결정될 것이고, 그런 방법의 수는 ${2n \choose n}$이다. 즉, (0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수는 ${2n \choose n}$이다.

 

이단계

이제 직선 $y=x$를 넘어서서 가는 경로의 수를 구하자. 경로는 반드시 $y=x+1$과 만나게 될 것이다.

카탈란 수열(Catalan numbers)meeting.jpg

이 때, 이 경로의 $(0,0)$에서부터 $y=x+1$과 처음으로 만나는 점까지를 잘라서, $y=x$에 대칭시키자.

카탈란 수열(Catalan numbers)Symmetrization.jpg

그리고 나머지 경로를 평행이동시켜 대칭이동된 경로에 갖다붙이자.

카탈란 수열(Catalan numbers)translation.jpg

그 결과는 $(0,0)$에서 출발하여 $(n+1,n-1)$에 도착하는 경로일 것이다.

카탈란 수열(Catalan numbers)result.jpg 

위에서 한 작업은 서로 다른 두 경로의 집합 사이에 어떤 대응을 만들어 낸 것이다. 이 대응은 일대일 대응이다. 일대일대응임을 보이기 위해서는 두 가지를 생각해야 한다. 첫번째는, 서로 다른 것으로 대응되었는지를 살피고, 두번째는 공역의 모든 원소가 대응되었는지를 살피는 것이다.

$y=x$를 넘어서서 가는 경로는 $(0,0)$에서 $(n+1,n-1)$까지 가는 경로와 일대일 대응되므로 그 개수는 \({2n \choose n+1}\)이다.

따라서 처음에 제기했던 문제의 답은 다음과 같다 \[{2n \choose n}-{2n \choose n+1}=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}\] ■

 

 

 

적분표현

  • \(c_n=\int_{0}^{1} 2^{2n+1}{\cos^{2n} \pi x}\, {\sin^2 \pi x}\,dx\)


역사

 

 

메모

 

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