케플러의 법칙, 행성운동과 타원

수학노트
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케플러의 법칙

  • 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 돌고 있다
  • 태양과 행성을 연결하는 직선은 같은 시간에 같은 면적을 쓸고 지나간다
  • 행성운동의 공전주기의 제곱은 타원 궤도의 장축의 길이의 세제곱에 비례한다


제1법칙

  • 장축의 길이가 \(2a\), 단축의 길이가 \(2b\)인 타원의 이심률 \(e\)는 다음과 같이 정의된다

\[e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\]

  • 태양을 원점에 두었을 때, 행성의 극좌표 \((r,\theta)\)는 다음을 만족한다

\[r=\frac{a(1-e^2)}{1+e \cos(\theta)}\]


제2법칙

  • 등면적 법칙

케플러의 법칙, 행성운동과 타원1.gif



케플러 방정식


뉴턴 법칙으로부터의 유도

  • \(a_r=\ddot{r} - r\dot{\theta}^2=k/r^2\)
  • \(a_\theta=r\ddot{\theta} + 2\dot{r} \dot{\theta}=0\)
  • 두번째 식으로부터 \(r^2 \dot{\theta}\)가 상수임을 알 수 있다. 이로부터 케플러의 제2법칙을 얻는다


메모

  • Newton on Abelian functions


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Jose F. Cariñena, M. F. Rañada, M. Santander, A new look at the Feynman `hodograph' approach to the Kepler first law, arXiv:1605.01204 [math-ph], May 04 2016, http://arxiv.org/abs/1605.01204, 10.1088/0143-0807/37/2/025004, http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/37/2/025004, Eur. J. Phys. 37, 025004 (2016)
  • Hsiang, Wu-Yi, and Eldar Straume. “Revisiting the Mathematical Synthesis of the Laws of Kepler and Galileo Leading to Newton’s Law of Universal Gravitation.” arXiv:1408.6758 [math], August 28, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.6758.
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  • Osler, Thomas J. “An Unusual Approach to Kepler’s First Law.” American Journal of Physics 69, no. 10 (October 1, 2001): 1036–38. doi:10.1119/1.1379735. http://www.rowan.edu/colleges/las/departments/math/facultystaff/osler/ELLIPSE2.pdf
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관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

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