코딩 이론

개요

• 오류가 발생할 수 있는 정보의 송수신을 어떻게 하면 효율적으로 정확하게 할 것인가의 문제에서 기원.
  • 클로드 섀넌의 정보이론
• 수학적으로는 유한체 위의 선형대수학
• 유한단순군, 이차형식과 밀접하게 연관되어 있음.

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 선형대수학
  • symmetric bilinear forms
  • duality
• 추상대수학
  • 유한체
• 푸리에 변환
• 포아송 summation formula

중요한 개념 및 정리

• 코드
  • 이차형식에서 격자에 대응
• 코드의 weight enumerator
  • 격자의 쎄타함수에 대응
• 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
• 오류정정코드
• 코드의 weight enumerator
• 맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)

코드의 예

• 해밍코드(Hamming codes)
• 골레이 코드 (Golay code)
• 리드-솔로몬 코드

다른 과목과의 관련성

• 추상대수학
  • 골레이 코드와 Mathieu 군(sporadic simple groups)

메모

• http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5085/
• Combinatorics in Space

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=shannon+coding
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 아다마르 행렬 (Hadamard matrix)

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 정수계수 이차형식
• 세타함수와 Modular Forms
• Kissing numbers and Sphere packings

표준적인 교과서

• The Theory of Error-Correcting Codes
  • Neil J. A. Sloane and Florence Jessie MacWilliams
  • 책이 두껍고, 내용이 방대하므로 입문서로는 적절치 않고, 참고용으로 적합.
• Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes
  • Vera Pless
  • 입문용 교과서로 적합.

관련도서

• Lattices and Codes: A Course Partially Based on Lectures by F.Hirzebruch
  • Wolfgang Ebeling
  • 정수계수 이차형식과 코딩이론의 내용을 함께 다룸.
  • 정수론을 좋아하는 사람이 코딩이론을 배우고 싶다면, 도움이 된다.
• From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups
  • Thomas M. Thompson, 2004
  • 코딩이론이 어떻게 유한단순군을 발견하는데 공헌을 하게 되기까지 벌어진 이야기들을 수학적인 설명과 함께 서술.
  • 전공자는 물론 일반 독자들도 응용수학이 어떻게 순수수학의 발전을 가져올 수 있는지의 관점에서 읽어볼만함.
• Codes That Detect and Correct Errors
  • Chester J. Salwach
  • The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 5 (Nov., 1988), pp. 402-416

리뷰, 에세이, 강의노트

• Elkies, Math 256x: The Theory of Error-Correcting Codes (Fall 2013)
• 정경훈, 오류정정 - 수학의 쓸모, 네이버 오늘의 과학, 2009-7-7
• Lattices, Linear Codes and Invariants, Part I.
  • Noam D. Elkies.1238. NOTICES OF THE AMS. VOLUME. 47, NUMBER. 10.
• Lattices, Linear Codes and Invariants,. Part II
  • Noam D. Elkies. 1382. NOTICES OF THE AMS. VOLUME. 47, NUMBER. 11.

관련논문

• http://arxiv.org/abs/1509.04764
• Codes That Detect and Correct Errors
  • Chester J. Salwach, the College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 5 (Nov., 1988), pp. 402-416
• Coding Theory: A Counterexample to G. H. Hardy's Conception of Applied Mathematics
  • Norman Levinson, The American Mathematical Monthly, Vol. 77, No. 3 (Mar., 1970), pp. 249-258
• Error Correcting Codes: Practical Origins and Mathematical Implications
  • Vera Pless, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 2 (Feb., 1978), pp. 90-94
• Error-Correcting Codes and Invariant Theory: New Applications of a Nineteenth-Century Technique
  • N. J. A. Sloane, The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 2 (Feb., 1977), pp. 82-107