# 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)

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## 개요

• any localized nonlinear wave which interacts with another (arbitrary) local disturbance and always regains asymptotically its exact initial shape and velocity (allowing for a possible phase shift)

## 러셀(John Scott Russell)의 관찰

• Using a wave tank, he demonstrated four facts
• First, solitary waves have a hyperbolic secant shape.
• Second, a sufficiently large initial mass of water produces two or more independent solitary waves.
• Third, solitary waves cross each other “without change of any kind.”
• Finally, a wave of height h and traveling in a channel of depth d has a velocity given by the expression (where g is the acceleration of gravity), implying that a large amplitude solitary wave travels faster than one of low amplitude.

## 코테베그-드 브리스 방정식 (KdV equation)

• $$u_{xxx}=u_t+6uu_x$$
• 1-soliton 해의 유도

$$u(x,t)=f(x-ct)$$로 두자.

$$f'''= 6ff'-cf'$$

$$f''=3f^2-cf+b$$

$$f''f'=(3f^2-cf+b)f'$$

$$\frac{1}{2}(f')^2=f^3-\frac{c}{2}f^2+bf+a$$

## 역사

• 1844 러셀이 관찰과 실험을 통해 솔리톤을 발견
• 1895 코테베그와 드 브리스가 1-솔리톤의 해석적 해를 구함
• 러셀의 발견을 모형화하고 미분방정식을 도입
• 1965 자부스키와 크루스칼의 수치해석적 연구
• 두 솔리톤(1-soliton)의 상호작용
• 크기가 다른 두 솔리톤이 깔끔하게 상호작용한다는 사실을 발견
• John Scott Russell and the solitary wave
• 수학사 연표