콕세터 군의 차수와 지수 (degrees and exponents)

수학노트
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개요

  • 지수는 콕세터 원소의 고유값에서 등장
  • 차수는 불변량이론에서 등장


지수(exponent)

  • $h$ : 콕세터 수
  • 콕세터 원소의 고유값은 언제나 적당한 정수 $m_i$와 크기 $h$의 원시단위근 $\zeta$에 대하여 $\zeta^{m_i}$ 꼴로 쓰여진다.
  • 정수 $m_i$, $1\leq m_i\leq h-1$를 콕세터 군의 지수라 부른다
  • 지수를 $m_1\le \cdots \le m_r$이라 두면, $m_i+m_{r-i+1}=h$이 성립하고, 여기서 $r$은 rank
  • 카르탄 행렬의 고유값은 \(4\sin^2(m_{i}\pi/2h)\)
  • 인접행렬(adjacency matrix)의 고유값은 \(2\cos(\pi m_i/h)\)


  • $A_4$의 콕세터 수는 5
  • 카트탄 행렬

\[\left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right)\]

  • 딘킨 다이어그램의 인접행렬은

\[\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\]

  • 인접행렬의 고유값

\[\left\{\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right)\right\}\]


  • $E_8$의 경우, 콕세터원소의 특성다항식은 다음과 같다

$$ x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1 $$ 이는 원분다항식(cyclotomic polynomial) $\Phi_{30}(x)$으로 $$ \Phi_n(x) =\prod_{1\le k\le n,\gcd(k,n)=1}\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right). $$

  • 해는 $\left\{\zeta ,\zeta ^7,\zeta ^{11},\zeta ^{13},\zeta ^{17},\zeta ^{19},\zeta ^{23},\zeta ^{29}\right\}$로 주어지며, 여기서 $\zeta$는 크기 30인 원시단위근


성질

정리 (Kostant, 1959)

콕세터 군의 지수를 $m_1\le \cdots\le m_n$, 차수를 $k_1\le \cdots\le k_n$라 하자. 그러면 $$ m_i=k_i-1. $$ 이고 다음이 성립한다 $$ \sum_{}m_i=\sum_{}(k_i-1)=\frac{nh}{2}=|\Phi^{+}| $$

  • 이는 콕세터의 추측
  • 유한 콕세터 군 $W$의 차수를 $k_1\le \cdots \le k_n$이라 하면, 다음이 성립한다

$$ |W|=k_1\cdots k_n $$


homological algebraic characterization

  • For a semisimple. Lie algebra L
  • $H^{\bullet}(L)$ is a free super-commutative algebra with homogeneous generator in degrees $2m_1+1,\cdots,2m_l+1$


테이블

$$ \begin{array}{c|ccccc} & \text{rank} & \text{degree} & \text{exponent} & \text{order} & \text{Coxeter} \\ \hline A_n & n & 2,3,\cdots, n+1 & 1,2,\cdots, n& (n+1)! & n+1 \\ B_n/C_n & n & 2,4,6,\cdots,2n & 1,3,5,\cdots,2n-1 & 2^n n! & 2 n \\ D_n & n & 2,4,6,\cdots 2n-2, n & 1,3,5,\cdots,2n-3, n-1 & 2^{n-1} n! & 2 n-2 \\ E_6 & 6 & 2,5,6,8,9,12 & 1,4,5,7,8,11 & 51840 & 12 \\ E_7 & 7 & 2,6,8,10,12,14,18 & 1,5,7,9,11,13,17 & 2903040 & 18 \\ E_8 & 8 & 2,8,12,14,18,20,24,30 & 1,7,11,13,17,19,23,29 & 696729600 & 30 \\ F_4 & 4 & 2,6,8,12 & 1,5,7,11 & 1152 & 12 \\ G_2 & 2 & 2,6 & 1,5 & 12 & 6 \\ H_3 & 3 & 2,6,10 & 1,5,9 & 120 & 10 \\ H_4 & 4 & 2,12,20,30 & 1,11,19,29 & 14400 & 30 \\ I_2(m) & 2 & 2,m & 1,m-1 & 2 m & m \end{array} $$


메모

$S^W$, that is, $S^W=\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_n]$, then their degrees $d_1,\cdots,d_n$ are called the fundamental degrees.


역사

  • 193? 콕세터
  • Kostant, Steinberg, Chevalley, Coleman


related items


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문

  • http://arxiv.org/abs/1110.6620
  • Damianou, Pantelis A. “A Beautiful Sine Formula.” American Mathematical Monthly 121, no. 2 (2014): 120–35. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.02.120.
  • Burns, John M., and Ruedi Suter. 2012. “Power Sums of Coxeter Exponents.” Advances in Mathematics 231 (3-4): 1291–1307. doi:10.1016/j.aim.2012.06.020.
  • Kostant, Bertram. “The Principal Three-Dimensional Subgroup and the Betti Numbers of a Complex Simple Lie Group.” American Journal of Mathematics 81 (1959): 973–1032.
  • Coleman, A. J. “The Betti Numbers of the Simple Lie Groups.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 10 (1958): 349–56.