콕세터 군 B3/C3
개요
- 유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)의 예
- 다음과 같이 정의되는 콕세터 군
$$ \left\langle r_1,r_2,r_3 \mid r_i^2=(r_3r_1)^2=(r_1r_2)^3=(r_2r_3)^4=1\right\rangle $$
- 불변량
$$ \begin{array}{c|ccccc} & \text{rank} & \text{degree} & \text{exponent} & \text{order} & \text{Coxeter} \\ \hline B_3/C_3 & 3 & 2,4,6 & 1,3,5 & 48 & 6 \\ \end{array} $$
- 포앵카레 다항식
$$ \begin{aligned} P_{W}(q)&=\sum_{w\in W}q^{\ell(w)} \\ &=1+3 q+5 q^2+7 q^3+8 q^4+8 q^5+7 q^6+5 q^7+3 q^8+q^9 \end{aligned} $$
콕세터 원소
- 콕세터 다항식, 즉 콕세터 원소의 특성다항식은 $-(x^3+1)$
- 콕세터 다항식의 세 해는 $\zeta, \zeta^3,\zeta^5$로 주어지며 여기서 $\zeta=e^{2\pi i/6}$
테이블
- 원소
$$ \begin{array}{ccc} & w & \ell(w) \\ \hline 1 & \{\} & 0 \\ 2 & \{1\} & 1 \\ 3 & \{2\} & 1 \\ 4 & \{3\} & 1 \\ 5 & \{1,2\} & 2 \\ 6 & \{1,3\} & 2 \\ 7 & \{2,1\} & 2 \\ 8 & \{2,3\} & 2 \\ 9 & \{3,2\} & 2 \\ 10 & \{1,2,1\} & 3 \\ 11 & \{1,2,3\} & 3 \\ 12 & \{1,3,2\} & 3 \\ 13 & \{2,1,3\} & 3 \\ 14 & \{2,3,2\} & 3 \\ 15 & \{3,2,1\} & 3 \\ 16 & \{3,2,3\} & 3 \\ 17 & \{1,2,1,3\} & 4 \\ 18 & \{1,2,3,2\} & 4 \\ 19 & \{1,3,2,1\} & 4 \\ 20 & \{1,3,2,3\} & 4 \\ 21 & \{2,1,3,2\} & 4 \\ 22 & \{2,3,2,1\} & 4 \\ 23 & \{2,3,2,3\} & 4 \\ 24 & \{3,2,1,3\} & 4 \\ 25 & \{1,2,1,3,2\} & 5 \\ 26 & \{1,2,3,2,1\} & 5 \\ 27 & \{1,2,3,2,3\} & 5 \\ 28 & \{1,3,2,1,3\} & 5 \\ 29 & \{2,1,3,2,1\} & 5 \\ 30 & \{2,1,3,2,3\} & 5 \\ 31 & \{2,3,2,1,3\} & 5 \\ 32 & \{3,2,1,3,2\} & 5 \\ 33 & \{1,2,1,3,2,1\} & 6 \\ 34 & \{1,2,1,3,2,3\} & 6 \\ 35 & \{1,2,3,2,1,3\} & 6 \\ 36 & \{1,3,2,1,3,2\} & 6 \\ 37 & \{2,1,3,2,1,3\} & 6 \\ 38 & \{2,3,2,1,3,2\} & 6 \\ 39 & \{3,2,1,3,2,3\} & 6 \\ 40 & \{1,2,1,3,2,1,3\} & 7 \\ 41 & \{1,2,3,2,1,3,2\} & 7 \\ 42 & \{1,3,2,1,3,2,3\} & 7 \\ 43 & \{2,1,3,2,1,3,2\} & 7 \\ 44 & \{2,3,2,1,3,2,3\} & 7 \\ 45 & \{1,2,1,3,2,1,3,2\} & 8 \\ 46 & \{1,2,3,2,1,3,2,3\} & 8 \\ 47 & \{2,1,3,2,1,3,2,3\} & 8 \\ 48 & \{1,2,1,3,2,1,3,2,3\} & 9 \end{array} $$
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