크리스토펠 기호

개요

정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\ I\)를 정의한다\[\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\]
접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다\[\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\]
즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
\(\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}\) 이 성립한다

3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)\[X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\]\[X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\]\[X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\]\[X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\]
\(\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}\), \(\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}\) 가 성립한다

제1기본형식을 이용한 표현\[\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}\]\[\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\]\[\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}\]\[\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}\]\[\Gamma^2_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}\]\[\Gamma^2_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}\]
\(F=0\) 인 경우\[\Gamma^1_{11}=\frac{E_u}{2E}\]\[\Gamma^2_{11}=\frac{-E_v}{2G}\]\[\Gamma^1_{12}=\frac{E_v}{2E}\]\[\Gamma^2_{12}=\frac{G_u}{2G}\]\[\Gamma^1_{22}=\frac{-G_u}{2E}\]\[\Gamma^2_{22}=\frac{G_v}{2G}\]