클라인씨의 병(Klein bottle)

수학노트
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개요

  • 안과 밖을 구별할 수 없는 곡면.
  • 뫼비우스의 띠와 달리 경계가 없는 콤팩트 곡면임.
  • 3차원 공간에서는 그 모습을 정확히 표현할 수 없음
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  • 사각형 모양의 종이에서 모서리를 다음과 같은 방식으로 붙여서 만들수 있음.(유식하게는 quotient topology 를 준다고 한다)
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펠릭스 클라인

 

 

 

재미있는 사실

  • 조세희 연작소설 '난장이가 쏘아올린 작은 공' 중 '클라인 씨의 병'

과학자는 그림과 같은 유리 대롱으로 그 병을 만들었다. 그림 처럼 원기둥의 한쪽을 넓게 하고 그 반대쪽을 좁게 변형시킨 다음 벽에 구멍을 뚫어 그림 을 완성한 것이다. 종이는 안과 밖 두면을 갖는데, 학자들은 안팎이 없는 한 면의 종이 안팎이 없고 닫혀 있는 공간 등, 상식적으로는 생각할 수 없는 이상야릇한 것도 연구하게 된다고 했다. 과학자가 내게 보여준 이상한 병도 독일의 수학자 펠릭스 클라인이 순전히 논리의 결과인 추상적인 측면에서 연구하여 발표한 것이라고 했다. 과학자는 의아해하는 나에게 말했다. 이것이 클라인씨의 병야. 안팎이 없는데 닫힌 공간이 있어. 나는 그림 의 병을 열심히 들여다보았다. 보이는 것도 단순하고 설명도 간단한데 뭐가 뭔지 통 알 수가 없었다. 나는 내가 정상적인 학교 교육을 받지 못했기 때문에 가장 초등적이며 단순한 생각이 기분이 된 문제도 이해하지 못한다고 믿었다. 그런데 과학자는 교육적으로 어떤 훈련도 받지 않은 사람이라도 상식적인 방법에 의해 문제의 핵심을 뚫을 수 있을 것이라고 말했다. 논리의 구애를 받으면 문제를 자꾸 복잡하게 만들게 되니까 쉽게 생각하라는 것이었다. 나는 아주 오랫동안 그것을 들여다 보았다. 정말 내부가 없군요. 내가 말했다. 안팎을 구분할 수 없어요.
그리고 닫혀 있는 공간이란 말도 알겠어요. 과학자가 웃었다. 그는 나에게 말했다. 내부와 외부의 구분이 있으면 이런 현상은 없지. 그날 나는 이 병을 왜 나에게 보여주느냐고 물었고, 과학자는 병을 완성한 순간에 네가 왔을 뿐이라고 대답했다. 나에게는 우연 같지가 않았다. 더욱 알 수 없는 것은 그림 의 실체가 내 눈앞에 있는데 그 실체를 무시하고 상상의 세계에서만 그 존재가 가능하다는 것이었다. 그래서 그림 을 들고 그럼 이것은 뭡니까? 내가 물었는데 그는 간단히 그것은 없다 고 잘라 말했다. 나는 인사를 하고 공장 그의 방에서 나왔다

(...)

이 병에서는 안이 곧 밖이고 밖이 곧 안입니다. 안팎이 없기 때문에 내부를 막았다고 할 수 없고, 여기서는 갇힌다는 게 아무 의미가 없습니다. 벽만 따라가면 밖으로 나갈 수 있죠. 따라서 이 세계는 갇혔다는 그 자체가 착각예요.

 

 

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