클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule)

수학노트
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개요

  • $V_{n}$ : $\mathfrak{sl}_2$의 $n+1$ 차원 기약표현
  • 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다

$$ V_{m}{\otimes}V_{n}\cong V_{|m-n|}\oplus V_{|m-n|+2}\oplus \cdots \oplus V_{m+n} \tag{1} $$

  • 예 : $V_{1}{\otimes}V_{1}\cong V_0\oplus V_2$


거듭제곱의 계산

  • $(V_1)^{\otimes 2}\cong V_0\oplus V_2$에 (1)를 거듭하여 적용하면, 다음 테이블을 얻을 수 있다

$$ \begin{array}{c|c} l & (V_1)^{\otimes l} \\ \hline 0 & V_0 \\ 1 & V_1 \\ 2 & V_0\oplus V_2 \\ 3 & 2 V_1\oplus V_3 \\ 4 & 2 V_0\oplus 3 V_2\oplus V_4 \\ 5 & 5 V_1\oplus 4 V_3\oplus V_5 \\ 6 & 5 V_0\oplus 9 V_2\oplus 5 V_4\oplus V_6 \\ 7 & 14 V_1\oplus 14 V_3\oplus 6 V_5\oplus V_7 \\ 8 & 14 V_0\oplus 28 V_2\oplus 20 V_4\oplus 7 V_6\oplus V_8 \\ 9 & 42 V_1\oplus 48 V_3\oplus 27 V_5\oplus 8 V_7\oplus V_9 \\ 10 & 42 V_0\oplus 90 V_2\oplus 75 V_4\oplus 35 V_6\oplus 9 V_8\oplus V_{10} \\ 11 & 132 V_1\oplus 165 V_3\oplus 110 V_5\oplus 44 V_7\oplus 10 V_9\oplus V_{11} \\ \end{array} $$


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