타원곡선 y²=x³-x

개요

타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다
\(x\to -x\) , \(y\to iy\) 는 타원곡선의 대칭이다
complex multiplication
elliptic curve "32a2"

판별식과 conductor

판별식 \(\Delta=64\)
conductor \(N=32\)

실수해

유리수해

\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
rank 는 0

주기(periods)

타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 \(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
주기는 다음과 같이 주어진다\[\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]\[\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\]
렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분\[2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]\[2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]
모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교[1]

유한체에서의 해의 개수

유한체에서의 해의 개수\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty)\}\]\[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\]\[a_p=p+1-M_p\]
아래 표 참조

제타함수

대수적다양체의 제타함수 항목 참조
로컬제타함수
\(p\neq 2\) 인 경우\[Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\]
\(p= 2\)인 경우\[Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\]

모듈라 형식

모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \] 여기서 \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수

표

\[ \begin{array}{c|c|c} {p} & {a_p} & {c_p} \\ \hline 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \]

타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조