"타원적분론 입문"의 두 판 사이의 차이

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<h5>제곱근 기호가 있는 적분</h5>
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<h5>이차식에 제곱근이 씌워진 적분</h5>
  
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<math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분
 
  
 
 
 
 
  
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* <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화
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* <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분<br><math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화<br>
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<math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분<br>
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* <math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분<br><math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br>
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* <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분<br><math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br>
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* <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br>
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* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br><math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br>
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* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.<br>
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* <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br>
 
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<math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br>
 
  
 
 
 
 
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* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.<br>
 
  
 
이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. <br> 중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. <br>
 
이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. <br> 중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. <br>
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삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.
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<h5>오일러의 적분정리</h5>
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위의 모든 논의를 요약하면, 다음과 같은 '오일러의 적분정리'를 얻는다. 
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오일러의 적분정리
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(정리) 오일러의 적분정리
  
 
임의의 2변수 유리함수 <math>R(x,y)</math> 에 대하여, <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
 
임의의 2변수 유리함수 <math>R(x,y)</math> 에 대하여, <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
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[[오일러 치환|오일러치환]]
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[[오일러 치환|오일러치환]] 항목 참조
  
 
 
 
 
  
 
이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
 
이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">타원적분이란?</h5>
  
 
위의 정리가 적용되는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}</math> 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
 
위의 정리가 적용되는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}</math> 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
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그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 와 같은 경우([[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]])는 어떨까?<br>
 
그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 와 같은 경우([[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]])는 어떨까?<br>
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<math>y^2=1-x^4</math> 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?<br> 하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!<br>
 
<math>y^2=1-x^4</math> 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?<br> 하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!<br>
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일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]이라 부른다. <br>
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일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 [[타원적분]]이라 부른다. <br>
  
 
 
 
 
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여기서 <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수이고, <math>y^2</math>는  <math>x</math>의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
 
여기서 <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수이고, <math>y^2</math>는  <math>x</math>의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
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* 역사적으로 [[타원 둘레의 길이]]를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
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*  타원  <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이는 <math>4aE(k)</math> 로 주어짐.<br><math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math><br><math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br>
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타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.<br>
 
타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.<br>
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이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다. 
 
이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다. 
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나는 비율판정법을 말할 때에는 [[초기하급수(Hypergeometric series)|초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수]] 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]을 말해주는 교육을 꿈꾼다. 
 
  
 
 
 
 

2010년 5월 28일 (금) 07:00 판

개요

 

 

유리함수의 적분

\(R(x,y)\)를 \(x,y\)의 유리함수라고 하자.

유리함수는 부분분수로 분해하여 그 부정적분을 구할 수 있다.

 

 

삼각함수의 적분

삼각함수의 적분은 유리함수의 적분으로 바꿀 수 있다.

 

 

  • \(R(\cos x, \sin x)\)의 적분
    다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
    \(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)

\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

 

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
    \(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)

 

 

이차식에 제곱근이 씌워진 적분

 

  • \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
    \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
  •  
  • \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
    \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  •  
  • \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
    \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  •  
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

 

 

이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. 
중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. 

 

\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다. 

 

즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 

 

매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. 

 

 

오일러의 적분정리

위의 모든 논의를 요약하면, 다음과 같은 '오일러의 적분정리'를 얻는다. 

 

(정리) 오일러의 적분정리

임의의 2변수 유리함수 \(R(x,y)\) 에 대하여, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.

 

 

오일러치환 항목 참조

 

이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.

 

 

타원적분이란?

위의 정리가 적용되는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.

무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!

그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?

\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

 

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다. 

 

일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다. 

 

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)는  \(x\)의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.

 

 

  • 역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
  • 타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어짐.
    \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
    \(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.

 

타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이가 \(4aT(k)\) 로 주어지기 때문이다. 여기서 \(k,T(k)\) 는 다음과 같다. 

 

\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다. 

 

이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다. 

무리함수적분 사인함수 원의 발견

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)

이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.

첫번째

\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.

두번째

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?

P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다. 

한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다. 

세번째

이 함수의 공역은 무엇인가?

\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\)

\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)

\(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y\)

이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. 

타원적분 타원함수 토러스의 발견

복소함수와 브랜치컷

하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.  

\(w=f(z)\)

\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다. 

 \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. 

즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 

매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. 

그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까? 

\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?

하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다. 


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