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− | * | + | * [[타원함수]] |
− | ** | + | ** [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]] |
− | ** | + | * [[자코비 세타함수]] |
− | * | + | * [[초기하급수(Hypergeometric series)]] |
− | * | + | * [[대수적 함수와 아벨적분]] |
+ | * [[오일러 치환|오일러치환]] | ||
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− | + | ==사전 형태의 자료== | |
− | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/타원적분 | |
+ | * http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral | ||
+ | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
+ | ** [http://dlmf.nist.gov/19 Chapter 19 Elliptic Integrals] | ||
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− | + | ==관련논문== | |
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− | + | * [http://www.springerlink.com/content/b365w3511067g184/ In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.] | |
+ | ** Rice, Adrian, 48-57, The Mathematical Intelligencer, Volume 30, Number 2, 2008-3 | ||
+ | * Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:[http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-07-01178-0 10.1090/S0273-0979-07-01178-0]. | ||
+ | * [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals] | ||
+ | ** AYOUB R | ||
+ | * [http://www.math.tulane.edu/%7Evhm/papers_html/EU.pdf A property of Euler's elastic curve] | ||
+ | * [http://www.springerlink.com/content/911pnwauaeggxk13/ The story of Landen, the hyperbola and the ellipse] | ||
+ | ** Elemente der Mathematik, Volume 57, Number 1 / 2002년 2월 | ||
+ | * [http://www.jstor.org/stable/2687483 Three Fermat Trails to Elliptic Curves] | ||
+ | ** Ezra Brown, <cite style="line-height: 2em;">The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 31, No. 3 (May, 2000), pp. 162-172 | ||
+ | * [http://www.jstor.org/stable/2974515 Elliptic Curves] | ||
+ | ** John Stillwell, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 9 (Nov., 1995), pp. 831-837 | ||
+ | * [http://www.jstor.org/stable/2321821 Abel's Theorem on the Lemniscate] | ||
+ | ** Michael Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 88, No. 6 (Jun. - Jul., 1981), pp. 387-395 | ||
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− | * http://www. | + | |
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+ | ==관련도서== | ||
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+ | * [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals] | ||
+ | ** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev | ||
+ | * [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM] | ||
+ | ** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein | ||
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+ | ==블로그== | ||
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+ | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/08/19/1428 삼각치환에서 타원적분으로] 피타고라스의 창, 2009-8-19 | ||
+ | [[분류:리만곡면론]] | ||
+ | [[분류:특수함수]] | ||
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+ | == 메타데이터 == | ||
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+ | ===위키데이터=== | ||
+ | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1126603 Q1126603] |
2020년 12월 28일 (월) 06:16 판
개요
- 먼저 타원적분론 입문 참조
- \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)은 \(x\)의 3차 또는 4차식\[\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\] 또는\[\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\]
타원 둘레의 길이
- 역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
- 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어짐.\[k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]\[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]
정의
- 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름
\[\int R(x,y)\,dx\] 여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식.
- 예를 들자면,
\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\] \[\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]
일종타원적분과 이종타원적분
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
- 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)\[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]\[E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\]
- \(\,_2F_1(a,b;c;z)\)는 초기하급수(Hypergeometric series)
르장드르의 항등식
- 일종타원적분과 이종타원적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립
\[E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\]
또는 \(\theta+\phi=\frac{\pi}{2}\) 에 대하여 \[E(\sin\theta)K(\sin\phi)+E(\sin\phi)K(\sin\theta)-K(\sin\theta)K(\sin\phi)=\frac{\pi}{2}\]
- 특별히 다음과 같은 관계가 성립함
\[2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\]
덧셈공식
- 파그나노의 공식 (렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy 항목 참조)
\[\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx\] 여기서 \(A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}\)
- 오일러의 일반화
\(p(x)=1+mx^2+nx^4\)일 때, \[\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx\] 여기서 \[B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}\]
메모
- 타원적분의 응용으로 단진자의 주기와 타원적분 항목 참조
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/타원적분
- http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.
- Rice, Adrian, 48-57, The Mathematical Intelligencer, Volume 30, Number 2, 2008-3
- Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.
- The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals
- AYOUB R
- A property of Euler's elastic curve
- The story of Landen, the hyperbola and the ellipse
- Elemente der Mathematik, Volume 57, Number 1 / 2002년 2월
- Three Fermat Trails to Elliptic Curves
- Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 3 (May, 2000), pp. 162-172
- Elliptic Curves
- John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 9 (Nov., 1995), pp. 831-837
- Abel's Theorem on the Lemniscate
- Michael Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 6 (Jun. - Jul., 1981), pp. 387-395
관련도서
- Elliptic functions and elliptic integrals
- Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
- Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
블로그
- 삼각치환에서 타원적분으로 피타고라스의 창, 2009-8-19
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