타원함수

개요

• 이중주기를 갖는 복소함수
• 타원적분을 이해하려는 시도에서 탄생
• 19세기 아벨과 자코비에 의해 체계화
  • 자코비 세타함수를 통해서도 이론을 구성할 수 있음.
• 주기성을 갖는 삼각함수는 원 위에 정의된 함수로 이해할 수 있듯이, 타원함수는 원환면 (torus) 위에 정의된 함수로 생각할 수 있음.
  • 해석적으로 발전해온 이론에 리만에 의해 기하학적 기초가 놓여짐. 리만곡면론의 탄생으로 이어짐.

바이어슈트라스의 타원함수

• 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조

삼각함수와 타원함수

• 타원함수는 두 세타함수의 비(quotient)로 얻어짐.
• 이러한 관점에서 \(\sin z\), \(\cos z\) 를 타원함수에 비유할 수 있고, \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\) 를 타원함수에 비유할 수 있음.
• \(\sin (z+\pi)=-\sin z\), \(\cos (z+\pi)=-\cos z\) 는 \(\chi : \mathbb{Z} \to \{\pm1\}\) 로 주어지는 modular form
  • 타원함수의 무한곱표현과 유사한 \(\sin z\), \(\cos z\) 의 무한곱표현도 있음.
• 둘의 비를 취함으로써, \(\tan (z+\pi)=\tan z\) 주기함수를 얻는다.

관련된 항목들

• 타원적분
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분
• 란덴변환(Landen's transformation)
• 타원곡선
• 타원적분
• 페르마의 마지막 정리
• 바이어슈트라스 타원함수 ℘

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 삼각함수
• 복소함수론

관련된 항목들

• 자코비 세타함수

관련도서

• Elliptic Functions J. V. Armitage, W. F. Eberlein

관련논문

• In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.
  • Rice, Adrian, 48-57
• Translation of "Recherches sur les fonctions elliptiques."
  • N.H.Abel
  • 번역 Marcus Emmanuel Barnes
• 타원함수에 대한 간략한 역사
  • http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/soliton-lab/chron/elliptic.html
• APPLICATIONS OF ELLIPTIC FUNCTIONS IN CLASSICAL AND ALGEBRAIC GEOMETRY
  • Snape, J. R. (2004).

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/타원함수
• http://en.wikipedia.org/wiki/elliptic_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_elliptic_function
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=elliptic+functions
• The Online Encyclopaedia of Mathematics : Elliptic function

계산 리소스

• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • Jacobian Elliptic Functions
  • Weierstrass Elliptic and Modular Functions

메모

• Kazuyasu Shigemoto, The Elliptic Function in Statistical Integrable Models, http://arxiv.org/abs/1603.01079v1

메타데이터

위키데이터

• ID : Q938102