타원 둘레의 길이

수학노트
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개요

  • 초등함수를 사용하여 닫힌형태로 표현할 수 없고, 타원적분이 필요하다
  • 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 타원적분의 이름이 붙여짐



타원 둘레 길이의 유도

  • 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)을 생각하자. 이 때, \(a>b>0\)라 가정.
  • 매개화는 \(x=a \sin \theta\), \(y=b \cos \theta\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\) 로 주어짐
  • 둘레의 길이는 \(4aE(k)\)로 주어진다. 여기서 E는 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind), k는 타원의 이심률
  • 유도과정

$$ \begin{aligned} 4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta & =4\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta \\ {}& =4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta \\ {}& =4a\int^{\frac{\pi}{2}}_ {0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta \\ {}&=4aE(k) \end{aligned} $$ 여기서 \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) 는 타원의 이심률, 제2종타원적분 E는 다음과 같이 주어짐 \[E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]


역사



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