"타자의 타율과 연분수"의 두 판 사이의 차이

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<math>3<p<287</math> 인 경우에,
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<math>3\leq p<287</math> 인 경우에,
  
 
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의 최소값에 대하여 생각해 보자.
 
의 최소값에 대하여 생각해 보자.
  
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<math>p=3k</math> 꼴인 경우
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<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능하다.
  
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<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2}{1000}k>\frac{15}{10000}k=\frac{5}{10000}p</math>
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<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능하다.
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<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2}{1000}k-\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}+ \frac{2}{1000}k+\frac{2}{3000}>\frac{3}{2000}k+\frac{1}{2000}=\frac{5}{10000}p</math>
  
 
 
 
 

2009년 5월 14일 (목) 20:39 판

문제

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타석이 필요한가?
타율계산은 안타/타석에서 소수 넷째자리에서 반올림  

 

287타석을 얻는 법
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개로 {0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9} 
    \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\)
  • 로 연분수 근사
    \(\frac{96}{287}=0.334494\cdots \)
  • 287타수에서는 타율 0.334가 가능

 

287타수 이하에서는 불가능함을 보이기

\(p<287\) 인 자연수에 대해서, 모든 자연수 \(q\) 가 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.

\(|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\)

 

(증명)

\(3\leq p<287\) 인 경우에,

\(|{q}-\frac{334}{10000}p|>\frac{5}{10000}p\)

\(|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{334}{10000}p+\frac{1}{3}p|>\frac{5}{10000}p\)

\(|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|>\frac{5}{10000}p\)

임을 보이면 된다.

\(|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|\)

 

의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능하다.

\(|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2}{1000}k>\frac{15}{10000}k=\frac{5}{10000}p\)

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능하다.

\(|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2}{1000}k-\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}+ \frac{2}{1000}k+\frac{2}{3000}>\frac{3}{2000}k+\frac{1}{2000}=\frac{5}{10000}p\)

 

 

 

 

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