"타자의 타율과 연분수"의 두 판 사이의 차이
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자연수 <math>q</math> 와 <math>p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다. | 자연수 <math>q</math> 와 <math>p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다. | ||
| − | + | :<math>|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005</math> | |
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(증명) | (증명) | ||
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<math>3\leq p<287</math> 인 경우에, | <math>3\leq p<287</math> 인 경우에, | ||
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| − | + | \begin{aligned} | |
| − | + | {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ | |
| − | + | \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ | |
| − | + | \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} | |
| + | \end{aligned} | ||
| + | </math> | ||
임을 보이면 된다. | 임을 보이면 된다. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|</math> | + | 이제 |
| − | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|</math> | |
의 최소값에 대하여 생각해 보자. | 의 최소값에 대하여 생각해 보자. | ||
<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | <math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000} | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}</math> |
<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | <math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> |
<math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | <math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> |
그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다. | 그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다. | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR0w3XzlZUjZoajQ/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR0w3XzlZUjZoajQ/edit | ||
* 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator] 참조 | * 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator] 참조 | ||
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* Fernando Rodriguez Villegas, [http://www.amazon.com/Experimental-Number-Theory-Graduate-Mathematics/dp/0198528221 Experimental Number Theory] | * Fernando Rodriguez Villegas, [http://www.amazon.com/Experimental-Number-Theory-Graduate-Mathematics/dp/0198528221 Experimental Number Theory] | ||
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==관련링크 및 웹페이지== | ==관련링크 및 웹페이지== | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3%ED%95%A03%ED%91%BC4%EB%A6%AC http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3할3푼4리] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3%ED%95%A03%ED%91%BC4%EB%A6%AC http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3할3푼4리] | ||
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1216 수학이 프로야구에 대해 말해줄수있는 것]<br> | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1216 수학이 프로야구에 대해 말해줄수있는 것]<br> | ||
** 피타고라스의 창, 2009-5-14 | ** 피타고라스의 창, 2009-5-14 | ||
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2013년 3월 14일 (목) 06:44 판
개요
- 다음과 같은 질문
타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?
- 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림
- 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다
287타수를 얻는 법
- 연분수 근사를 해보자.
- 33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]\[\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\]\[\frac{96}{287}=0.334494\cdots \]
- 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
- 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]
- 629/1886 = 0.33351007423117707
286타수 이하에서는 불가능함을 보이기
자연수 \(q\) 와 \(p<287\) 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다. \[|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\]
(증명)
\(3\leq p<287\) 인 경우에,
\[ \begin{aligned} {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} \end{aligned} \]
임을 보이면 된다.
이제 \[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\] 의 최소값에 대하여 생각해 보자.
\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.
\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}\]
\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.
\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]
\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.
\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]
그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다. \[|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\] ■
재미있는 사실
- 한국프로야구통산3할3푼4리 달성한 타자
- 스탯티즈 검색결과
- 1982년 OB 신경식 3할3푼4리(98/293)
- 1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425)
- 2000년 한화 데이비스 3할3푼4리 (140/419)
- 2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR0w3XzlZUjZoajQ/edit
- 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator 참조
관련도서
- Fernando Rodriguez Villegas, Experimental Number Theory
관련링크 및 웹페이지
- Continued Fraction Calculator
- 한국야구위원회 역대기록실
- 스탯티즈
- 한국프로야구의 통계와 역사
- 2009시즌 타자 순위
- 네이버
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
블로그
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