"타자의 타율과 연분수"의 두 판 사이의 차이

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−
<h5>문제</h5>
+
==개요==
  
 +
* 다음 문제를 생각하자
 
<blockquote>
 
<blockquote>
 
타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?
 
타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?
 
</blockquote>
 
</blockquote>
 +
* 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림하여 얻어진다
 +
* 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다
  
−
* 타율계산은 안타/타수에서 소수 넷째자리에서 반올림
+
−
 
+
==타율 0.334==
−
 
+
===287타수를 얻는 법===
−
 
+
* 타율이 0.334가 되도록 하는 분수에 대하여 [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 근사를 적용해보자.
−
 
+
*  33449/100000 에 대한 연분수 전개 <math>[0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]</math>, 즉
−
 
+
:<math>
−
<h5>287타석을 얻는 법</h5>
+
\LARGE
−
 
+
0.33449=
−
* 연분수 근사를 해보자.
+
\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{95+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{7+\frac{1}{9}}}}}}}}
−
*  33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]<br><math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots</math><br><math>\frac{96}{287}=0.334494\cdots </math><br>
+
</math>
 +
:<math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots</math>
 +
:<math>\frac{96}{287}=0.334494\cdots </math>
 
* 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
 
* 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
−
 
+
* 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 <math>[0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]</math>
−
 
 
−
 
 
−
* 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]
 
 
* 629/1886 = 0.33351007423117707
 
* 629/1886 = 0.33351007423117707
−
* 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator] 참조
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5>286타수 이하에서는 불가능함을 보이기</h5>
 
−
 
−
자연수 <math>q</math> 와 <math>p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.
 
  
−
<math>|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005</math>
+
===286타수 이하에서는 타율 0.334가 불가능함을 보이기===
  
−
 
+
;정리
 +
임의의 자연수 <math>q</math> 와 <math>1\leq p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식이 성립한다.
 +
:<math>|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005</math>
  
−
(증명)
+
;증명
 +
<math>p</math>가 1 또는 2인 경우에는 부등식을 쉽게 확인할 수 있다.
  
−
<math>3\leq p<287</math> 인 경우에,
+
<math>3\leq p<287</math>라고 가정하자.
  
−
<math>|{q}-\frac{334p}{10000}|>\frac{p}{2000}</math>
+
:<math>
−
 
+
\begin{aligned}
−
<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{10000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}</math>
+
{}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\
−
 
+
\iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\
−
<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|>\frac{p}{2000}</math>
+
\iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000}
 +
\end{aligned}
 +
</math>
  
 
임을 보이면 된다.
 
임을 보이면 된다.
  
−
<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|</math>
+
이제
−
 
+
:<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|</math>
−
 
 
−
 
 
 
의 최소값에 대하여 생각해 보자.
 
의 최소값에 대하여 생각해 보자.
  
 
<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
 
<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
  
−
<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2}{1000}k>\frac{3}{2000}k=\frac{p}{2000}</math>
+
:<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
  
 
<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
 
<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
  
−
<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2}{1000}k-\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}+ \frac{2}{1000}k+\frac{2}{3000}>\frac{3}{2000}k+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
+
:<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
  
 
<math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
 
<math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
  
−
<math>|{q}-\frac{1}{3}p-\frac{2}{3000}p|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2}{1000}k+\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}- \frac{2}{1000}k+\frac{2}{3000}>\frac{3}{2000}k-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
+
:<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
−
 
 
−
 
 
  
 
그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다.
 
그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다.
 +
:<math>|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}</math>
 +
■
  
−
<math>|{q}-\frac{334}{10000}p|>\frac{p}{2000}</math>  (증명끝)
+
−
 
+
==0.334는 특별한가==
−
 
+
* 아래의 표는 주어진 타율을 얻기 위하여 필요한 최소의 타수 및 그 타율과 가까운 간단한 분수를 나타낸다.
−
 
+
* 이 표에서는 필요한 타수가 100이상인 타율만 나타냈다
−
 
+
* 표에 등장하는 타율은 간단한 분수로 표현되지는 않지만, 그에 매우 가깝다는 특징을 갖는다
 +
* 가령 0.334는 1/3에 가깝지만, 그와 같지는 않다
 +
:<math>
 +
\begin{array}{ccc}
 +
\text{avg} & \text{at bat} & \text{simple ratio} \\
 +
\hline
 +
0.999 & 667 & 1/1 \\
 +
0.001 & 667 & 0/1 \\
 +
0.002 & 401 & 0/1 \\
 +
0.998 & 400 & 1/1 \\
 +
0.501 & 335 & 1/2 \\
 +
0.499 & 335 & 1/2 \\
 +
0.666 & 287 & 2/3 \\
 +
0.334 & 287 & 1/3 \\
 +
0.997 & 286 & 1/1 \\
 +
0.003 & 286 & 0/1 \\
 +
0.996 & 223 & 1/1 \\
 +
0.004 & 223 & 0/1 \\
 +
0.502 & 201 & 1/2 \\
 +
0.498 & 201 & 1/2 \\
 +
0.668 & 184 & 2/3 \\
 +
0.332 & 184 & 1/3 \\
 +
0.995 & 182 & 1/1 \\
 +
0.005 & 182 & 0/1 \\
 +
0.751 & 169 & 3/4 \\
 +
0.249 & 169 & 1/4 \\
 +
0.749 & 167 & 3/4 \\
 +
0.251 & 167 & 1/4 \\
 +
0.665 & 155 & 2/3 \\
 +
0.335 & 155 & 1/3 \\
 +
0.994 & 154 & 1/1 \\
 +
0.006 & 154 & 0/1 \\
 +
0.834 & 145 & 5/6 \\
 +
0.166 & 145 & 1/6 \\
 +
0.503 & 143 & 1/2 \\
 +
0.497 & 143 & 1/2 \\
 +
0.601 & 138 & 3/5 \\
 +
0.572 & 138 & 4/7 \\
 +
0.428 & 138 & 3/7 \\
 +
0.399 & 138 & 2/5 \\
 +
0.599 & 137 & 3/5 \\
 +
0.401 & 137 & 2/5 \\
 +
0.801 & 136 & 4/5 \\
 +
0.199 & 136 & 1/5 \\
 +
0.993 & 134 & 1/1 \\
 +
0.799 & 134 & 4/5 \\
 +
0.201 & 134 & 1/5 \\
 +
0.007 & 134 & 0/1 \\
 +
0.715 & 123 & 5/7 \\
 +
0.285 & 123 & 2/7 \\
 +
0.992 & 118 & 1/1 \\
 +
0.669 & 118 & 2/3 \\
 +
0.331 & 118 & 1/3 \\
 +
0.008 & 118 & 0/1 \\
 +
0.504 & 113 & 1/2 \\
 +
0.496 & 113 & 1/2 \\
 +
0.555 & 110 & 5/9 \\
 +
0.445 & 110 & 4/9 \\
 +
0.664 & 107 & 2/3 \\
 +
0.336 & 107 & 1/3 \\
 +
0.991 & 106 & 1/1 \\
 +
0.858 & 106 & 6/7 \\
 +
0.142 & 106 & 1/7 \\
 +
0.009 & 106 & 0/1 \\
 +
0.748 & 103 & 3/4 \\
 +
0.252 & 103 & 1/4 \\
 +
0.752 & 101 & 3/4 \\
 +
0.248 & 101 & 1/4
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
  
−
<h5>상위 주제</h5>
+
==재미있는 사실==
  
−
 
+
* [http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=stat&re=0&ys=1982&ye=2008&se=0&te=&tm=&ty=0&qu=auto&po=0&as=&ae=&hi=&un=&pl=&da=1&o1=AVG&o2=TPA&de=1&lr=off&tr=off&cv=&ml=1&si=&cn=AVG%2C0.320%2C%2CRBI%2C%2C&sn=100 한국프로야구통산3할3푼4리 달성한 타자]
 +
** [http://www.statiz.co.kr/ 스탯티즈] 검색결과
 +
* 1982년 OB 신경식 3할3푼4리(98/293)
 +
*  1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425)
 +
** http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=player&name=%EC%9D%B4%EC%98%81%EC%9A%B0&x=0&y=0
 +
*  2000년 한화 데이비스 3할3푼4리 (140/419)
 +
*  2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성
 +
** http://japaneseballplayers.com/en/player.php?id=matsui
  
−
 
+
 
  
−
 
+
==관련된 항목들==
−
 
 
−
==== 하위페이지 ====
 
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
 
−
** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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−
<h5>많이 나오는 질문과 답변</h5>
 
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*  네이버 지식인<br>
 
−
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
−
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
−
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
−
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
−
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
−
 
 
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−
<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
 
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−
 
 
−
 
 
−
 
 
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−
<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
  
 
* [[달력의 수학]]
 
* [[달력의 수학]]
 
* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수]]
 
* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수]]
 
* [[수학과 음악]]
 
* [[수학과 음악]]
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
  
−
 
+
  
−
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
+
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
−
* 도서내검색<br>
+
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR0w3XzlZUjZoajQ/edit
−
** http://books.google.com/books?q=
+
* 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator] 참조
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>참고할만한 자료</h5>
 
−
 
 
−
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator]
 
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://viswiki.com/en/
 
−
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
−
* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
  
−
 
+
  
−
<h5>관련기사</h5>
+
==관련도서==
  
−
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
+
* Fernando Rodriguez Villegas, [http://www.amazon.com/Experimental-Number-Theory-Graduate-Mathematics/dp/0198528221 Experimental Number Theory]
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
−
 
 
  
−
 
 
  
−
<h5>블로그</h5>
+
==관련링크 및 웹페이지==
 +
* [http://www.koreabaseball.com/generation/generation01.asp 한국야구위원회 역대기록실]
 +
* [http://kbodata.news.naver.com/m_rank/rank_batter.asp 시즌 타자 순위], 네이버
  
−
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/13/1212 타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타석이 필요한가?]<br>
+
   
−
** 피타고라스의 창, 2009-5-13
 
−
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1216 수학이 프로야구에 대해 말해줄수있는 것]<br>
 
−
** 피타고라스의 창, 2009-5-14
 
−
* 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%88%98%ED%95%99%ED%83%80%EC%9C%A8 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=수학타율]<br>
 
−
*  트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=<br>
 
  
−
 
+
==관련기사==
  
−
<h5>이미지 검색</h5>
+
*  네이버 뉴스 검색
 +
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3%ED%95%A03%ED%91%BC4%EB%A6%AC http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3할3푼4리]
  
−
* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
+
−
* http://images.google.com/images?q=
 
−
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
  
−
 
+
==블로그==
  
−
<h5>동영상</h5>
+
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/13/1212 타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타석이 필요한가?], 피타고라스의 창, 2009-5-13
 +
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1219 타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 287타수가 필요하다는 사실의 증명], 피타고라스의 창, 2009-5-14
 +
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1216 수학이 프로야구에 대해 말해줄수있는 것], 피타고라스의 창, 2009-5-14
  
−
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
+
[[분류:교양수학]]
 +
[[분류:연분수]]

2020년 11월 13일 (금) 00:57 기준 최신판

개요

  • 다음 문제를 생각하자

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

  • 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림하여 얻어진다
  • 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다


타율 0.334

287타수를 얻는 법

  • 타율이 0.334가 되도록 하는 분수에 대하여 연분수 근사를 적용해보자.
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개 \([0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]\), 즉

\[ \LARGE 0.33449= \frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{95+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{7+\frac{1}{9}}}}}}}} \] \[\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\] \[\frac{96}{287}=0.334494\cdots \]

  • 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
  • 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 \([0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]\)
  • 629/1886 = 0.33351007423117707

286타수 이하에서는 타율 0.334가 불가능함을 보이기

정리

임의의 자연수 \(q\) 와 \(1\leq p<287\) 에 대해서, 다음 부등식이 성립한다. \[|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\]

증명

\(p\)가 1 또는 2인 경우에는 부등식을 쉽게 확인할 수 있다.

\(3\leq p<287\)라고 가정하자.

\[ \begin{aligned} {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} \end{aligned} \]

임을 보이면 된다.

이제 \[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\] 의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}\]

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]

\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]

그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다. \[|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\] ■


0.334는 특별한가

  • 아래의 표는 주어진 타율을 얻기 위하여 필요한 최소의 타수 및 그 타율과 가까운 간단한 분수를 나타낸다.
  • 이 표에서는 필요한 타수가 100이상인 타율만 나타냈다
  • 표에 등장하는 타율은 간단한 분수로 표현되지는 않지만, 그에 매우 가깝다는 특징을 갖는다
  • 가령 0.334는 1/3에 가깝지만, 그와 같지는 않다

\[ \begin{array}{ccc} \text{avg} & \text{at bat} & \text{simple ratio} \\ \hline 0.999 & 667 & 1/1 \\ 0.001 & 667 & 0/1 \\ 0.002 & 401 & 0/1 \\ 0.998 & 400 & 1/1 \\ 0.501 & 335 & 1/2 \\ 0.499 & 335 & 1/2 \\ 0.666 & 287 & 2/3 \\ 0.334 & 287 & 1/3 \\ 0.997 & 286 & 1/1 \\ 0.003 & 286 & 0/1 \\ 0.996 & 223 & 1/1 \\ 0.004 & 223 & 0/1 \\ 0.502 & 201 & 1/2 \\ 0.498 & 201 & 1/2 \\ 0.668 & 184 & 2/3 \\ 0.332 & 184 & 1/3 \\ 0.995 & 182 & 1/1 \\ 0.005 & 182 & 0/1 \\ 0.751 & 169 & 3/4 \\ 0.249 & 169 & 1/4 \\ 0.749 & 167 & 3/4 \\ 0.251 & 167 & 1/4 \\ 0.665 & 155 & 2/3 \\ 0.335 & 155 & 1/3 \\ 0.994 & 154 & 1/1 \\ 0.006 & 154 & 0/1 \\ 0.834 & 145 & 5/6 \\ 0.166 & 145 & 1/6 \\ 0.503 & 143 & 1/2 \\ 0.497 & 143 & 1/2 \\ 0.601 & 138 & 3/5 \\ 0.572 & 138 & 4/7 \\ 0.428 & 138 & 3/7 \\ 0.399 & 138 & 2/5 \\ 0.599 & 137 & 3/5 \\ 0.401 & 137 & 2/5 \\ 0.801 & 136 & 4/5 \\ 0.199 & 136 & 1/5 \\ 0.993 & 134 & 1/1 \\ 0.799 & 134 & 4/5 \\ 0.201 & 134 & 1/5 \\ 0.007 & 134 & 0/1 \\ 0.715 & 123 & 5/7 \\ 0.285 & 123 & 2/7 \\ 0.992 & 118 & 1/1 \\ 0.669 & 118 & 2/3 \\ 0.331 & 118 & 1/3 \\ 0.008 & 118 & 0/1 \\ 0.504 & 113 & 1/2 \\ 0.496 & 113 & 1/2 \\ 0.555 & 110 & 5/9 \\ 0.445 & 110 & 4/9 \\ 0.664 & 107 & 2/3 \\ 0.336 & 107 & 1/3 \\ 0.991 & 106 & 1/1 \\ 0.858 & 106 & 6/7 \\ 0.142 & 106 & 1/7 \\ 0.009 & 106 & 0/1 \\ 0.748 & 103 & 3/4 \\ 0.252 & 103 & 1/4 \\ 0.752 & 101 & 3/4 \\ 0.248 & 101 & 1/4 \end{array} \]


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