"타자의 타율과 연분수"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
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| − | + | ==개요== | |
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| + | * 다음 문제를 생각하자 | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가? | 타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가? | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
| + | * 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림하여 얻어진다 | ||
| + | * 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ==타율 0.334== | |
| − | + | ===287타수를 얻는 법=== | |
| − | + | * 타율이 0.334가 되도록 하는 분수에 대하여 [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 근사를 적용해보자. | |
| − | + | * 33449/100000 에 대한 연분수 전개 <math>[0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]</math>, 즉 | |
| − | + | :<math> | |
| − | + | \LARGE | |
| − | + | 0.33449= | |
| − | + | \frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{95+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{7+\frac{1}{9}}}}}}}} | |
| − | * [[연분수와 유리수 근사|연분수]] | + | </math> |
| − | * 33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]< | + | :<math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots</math> |
| + | :<math>\frac{96}{287}=0.334494\cdots </math> | ||
* 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능 | * 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능 | ||
| − | + | * 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 <math>[0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]</math> | |
| − | * 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2] | ||
* 629/1886 = 0.33351007423117707 | * 629/1886 = 0.33351007423117707 | ||
| − | |||
| − | + | ===286타수 이하에서는 타율 0.334가 불가능함을 보이기=== | |
| − | < | + | ;정리 |
| + | 임의의 자연수 <math>q</math> 와 <math>1\leq p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식이 성립한다. | ||
| + | :<math>|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005</math> | ||
| − | + | ;증명 | |
| + | <math>p</math>가 1 또는 2인 경우에는 부등식을 쉽게 확인할 수 있다. | ||
| − | <math> | + | <math>3\leq p<287</math>라고 가정하자. |
| − | + | :<math> | |
| − | + | \begin{aligned} | |
| − | <math> | + | {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ |
| − | + | \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ | |
| − | + | \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} | |
| − | + | \end{aligned} | |
| − | + | </math> | |
| − | |||
| − | |||
임을 보이면 된다. | 임을 보이면 된다. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|</math> | + | 이제 |
| − | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|</math> | |
의 최소값에 대하여 생각해 보자. | 의 최소값에 대하여 생각해 보자. | ||
<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | <math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000} | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}</math> |
<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | <math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> |
<math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | <math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능. | ||
| − | <math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> | + | :<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math> |
그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다. | 그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다. | ||
| + | :<math>|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}</math> | ||
| + | ■ | ||
| − | + | ||
| − | + | ==0.334는 특별한가== | |
| − | + | * 아래의 표는 주어진 타율을 얻기 위하여 필요한 최소의 타수 및 그 타율과 가까운 간단한 분수를 나타낸다. | |
| + | * 이 표에서는 필요한 타수가 100이상인 타율만 나타냈다 | ||
| + | * 표에 등장하는 타율은 간단한 분수로 표현되지는 않지만, 그에 매우 가깝다는 특징을 갖는다 | ||
| + | * 가령 0.334는 1/3에 가깝지만, 그와 같지는 않다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{array}{ccc} | ||
| + | \text{avg} & \text{at bat} & \text{simple ratio} \\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 0.999 & 667 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.001 & 667 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.002 & 401 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.998 & 400 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.501 & 335 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.499 & 335 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.666 & 287 & 2/3 \\ | ||
| + | 0.334 & 287 & 1/3 \\ | ||
| + | 0.997 & 286 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.003 & 286 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.996 & 223 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.004 & 223 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.502 & 201 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.498 & 201 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.668 & 184 & 2/3 \\ | ||
| + | 0.332 & 184 & 1/3 \\ | ||
| + | 0.995 & 182 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.005 & 182 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.751 & 169 & 3/4 \\ | ||
| + | 0.249 & 169 & 1/4 \\ | ||
| + | 0.749 & 167 & 3/4 \\ | ||
| + | 0.251 & 167 & 1/4 \\ | ||
| + | 0.665 & 155 & 2/3 \\ | ||
| + | 0.335 & 155 & 1/3 \\ | ||
| + | 0.994 & 154 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.006 & 154 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.834 & 145 & 5/6 \\ | ||
| + | 0.166 & 145 & 1/6 \\ | ||
| + | 0.503 & 143 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.497 & 143 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.601 & 138 & 3/5 \\ | ||
| + | 0.572 & 138 & 4/7 \\ | ||
| + | 0.428 & 138 & 3/7 \\ | ||
| + | 0.399 & 138 & 2/5 \\ | ||
| + | 0.599 & 137 & 3/5 \\ | ||
| + | 0.401 & 137 & 2/5 \\ | ||
| + | 0.801 & 136 & 4/5 \\ | ||
| + | 0.199 & 136 & 1/5 \\ | ||
| + | 0.993 & 134 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.799 & 134 & 4/5 \\ | ||
| + | 0.201 & 134 & 1/5 \\ | ||
| + | 0.007 & 134 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.715 & 123 & 5/7 \\ | ||
| + | 0.285 & 123 & 2/7 \\ | ||
| + | 0.992 & 118 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.669 & 118 & 2/3 \\ | ||
| + | 0.331 & 118 & 1/3 \\ | ||
| + | 0.008 & 118 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.504 & 113 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.496 & 113 & 1/2 \\ | ||
| + | 0.555 & 110 & 5/9 \\ | ||
| + | 0.445 & 110 & 4/9 \\ | ||
| + | 0.664 & 107 & 2/3 \\ | ||
| + | 0.336 & 107 & 1/3 \\ | ||
| + | 0.991 & 106 & 1/1 \\ | ||
| + | 0.858 & 106 & 6/7 \\ | ||
| + | 0.142 & 106 & 1/7 \\ | ||
| + | 0.009 & 106 & 0/1 \\ | ||
| + | 0.748 & 103 & 3/4 \\ | ||
| + | 0.252 & 103 & 1/4 \\ | ||
| + | 0.752 & 101 & 3/4 \\ | ||
| + | 0.248 & 101 & 1/4 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| − | + | ==재미있는 사실== | |
| − | + | * [http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=stat&re=0&ys=1982&ye=2008&se=0&te=&tm=&ty=0&qu=auto&po=0&as=&ae=&hi=&un=&pl=&da=1&o1=AVG&o2=TPA&de=1&lr=off&tr=off&cv=&ml=1&si=&cn=AVG%2C0.320%2C%2CRBI%2C%2C&sn=100 한국프로야구통산3할3푼4리 달성한 타자] | |
| − | |||
| − | * [http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=stat&re=0&ys=1982&ye=2008&se=0&te=&tm=&ty=0&qu=auto&po=0&as=&ae=&hi=&un=&pl=&da=1&o1=AVG&o2=TPA&de=1&lr=off&tr=off&cv=&ml=1&si=&cn=AVG%2C0.320%2C%2CRBI%2C%2C&sn=100 한국프로야구통산3할3푼4리 달성한 타자] | ||
** [http://www.statiz.co.kr/ 스탯티즈] 검색결과 | ** [http://www.statiz.co.kr/ 스탯티즈] 검색결과 | ||
* 1982년 OB 신경식 3할3푼4리(98/293) | * 1982년 OB 신경식 3할3푼4리(98/293) | ||
| − | * 1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425) | + | * 1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425) |
** http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=player&name=%EC%9D%B4%EC%98%81%EC%9A%B0&x=0&y=0 | ** http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=player&name=%EC%9D%B4%EC%98%81%EC%9A%B0&x=0&y=0 | ||
| − | * 2000년 한화 데이비스 3할3푼4리 (140/419) | + | * 2000년 한화 데이비스 3할3푼4리 (140/419) |
| − | * 2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성 | + | * 2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성 |
** http://japaneseballplayers.com/en/player.php?id=matsui | ** http://japaneseballplayers.com/en/player.php?id=matsui | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[달력의 수학]] | * [[달력의 수학]] | ||
* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수]] | * [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수]] | ||
* [[수학과 음악]] | * [[수학과 음악]] | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
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| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
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| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR0w3XzlZUjZoajQ/edit | ||
| + | * 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator] 참조 | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
* Fernando Rodriguez Villegas, [http://www.amazon.com/Experimental-Number-Theory-Graduate-Mathematics/dp/0198528221 Experimental Number Theory] | * Fernando Rodriguez Villegas, [http://www.amazon.com/Experimental-Number-Theory-Graduate-Mathematics/dp/0198528221 Experimental Number Theory] | ||
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| − | + | ==관련링크 및 웹페이지== | |
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* [http://www.koreabaseball.com/generation/generation01.asp 한국야구위원회 역대기록실] | * [http://www.koreabaseball.com/generation/generation01.asp 한국야구위원회 역대기록실] | ||
| − | + | * [http://kbodata.news.naver.com/m_rank/rank_batter.asp 시즌 타자 순위], 네이버 | |
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| − | * [http://kbodata.news.naver.com/m_rank/rank_batter.asp | ||
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| − | + | ==관련기사== | |
| − | * 네이버 뉴스 검색 | + | * 네이버 뉴스 검색 |
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3%ED%95%A03%ED%91%BC4%EB%A6%AC http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3할3푼4리] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3%ED%95%A03%ED%91%BC4%EB%A6%AC http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=3할3푼4리] | ||
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| + | ==블로그== | ||
| − | + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/13/1212 타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타석이 필요한가?], 피타고라스의 창, 2009-5-13 | |
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1219 타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 287타수가 필요하다는 사실의 증명], 피타고라스의 창, 2009-5-14 | ||
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/05/14/1216 수학이 프로야구에 대해 말해줄수있는 것], 피타고라스의 창, 2009-5-14 | ||
| − | + | [[분류:교양수학]] | |
| − | + | [[분류:연분수]] | |
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2020년 11월 13일 (금) 00:57 기준 최신판
개요
- 다음 문제를 생각하자
타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?
- 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림하여 얻어진다
- 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다
타율 0.334
287타수를 얻는 법
- 타율이 0.334가 되도록 하는 분수에 대하여 연분수 근사를 적용해보자.
- 33449/100000 에 대한 연분수 전개 \([0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]\), 즉
\[ \LARGE 0.33449= \frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{95+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{7+\frac{1}{9}}}}}}}} \] \[\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\] \[\frac{96}{287}=0.334494\cdots \]
- 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
- 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 \([0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]\)
- 629/1886 = 0.33351007423117707
286타수 이하에서는 타율 0.334가 불가능함을 보이기
- 정리
임의의 자연수 \(q\) 와 \(1\leq p<287\) 에 대해서, 다음 부등식이 성립한다. \[|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\]
- 증명
\(p\)가 1 또는 2인 경우에는 부등식을 쉽게 확인할 수 있다.
\(3\leq p<287\)라고 가정하자.
\[ \begin{aligned} {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} \end{aligned} \]
임을 보이면 된다.
이제 \[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\] 의 최소값에 대하여 생각해 보자.
\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.
\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}\]
\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.
\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]
\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.
\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]
그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다. \[|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\] ■
0.334는 특별한가
- 아래의 표는 주어진 타율을 얻기 위하여 필요한 최소의 타수 및 그 타율과 가까운 간단한 분수를 나타낸다.
- 이 표에서는 필요한 타수가 100이상인 타율만 나타냈다
- 표에 등장하는 타율은 간단한 분수로 표현되지는 않지만, 그에 매우 가깝다는 특징을 갖는다
- 가령 0.334는 1/3에 가깝지만, 그와 같지는 않다
\[ \begin{array}{ccc} \text{avg} & \text{at bat} & \text{simple ratio} \\ \hline 0.999 & 667 & 1/1 \\ 0.001 & 667 & 0/1 \\ 0.002 & 401 & 0/1 \\ 0.998 & 400 & 1/1 \\ 0.501 & 335 & 1/2 \\ 0.499 & 335 & 1/2 \\ 0.666 & 287 & 2/3 \\ 0.334 & 287 & 1/3 \\ 0.997 & 286 & 1/1 \\ 0.003 & 286 & 0/1 \\ 0.996 & 223 & 1/1 \\ 0.004 & 223 & 0/1 \\ 0.502 & 201 & 1/2 \\ 0.498 & 201 & 1/2 \\ 0.668 & 184 & 2/3 \\ 0.332 & 184 & 1/3 \\ 0.995 & 182 & 1/1 \\ 0.005 & 182 & 0/1 \\ 0.751 & 169 & 3/4 \\ 0.249 & 169 & 1/4 \\ 0.749 & 167 & 3/4 \\ 0.251 & 167 & 1/4 \\ 0.665 & 155 & 2/3 \\ 0.335 & 155 & 1/3 \\ 0.994 & 154 & 1/1 \\ 0.006 & 154 & 0/1 \\ 0.834 & 145 & 5/6 \\ 0.166 & 145 & 1/6 \\ 0.503 & 143 & 1/2 \\ 0.497 & 143 & 1/2 \\ 0.601 & 138 & 3/5 \\ 0.572 & 138 & 4/7 \\ 0.428 & 138 & 3/7 \\ 0.399 & 138 & 2/5 \\ 0.599 & 137 & 3/5 \\ 0.401 & 137 & 2/5 \\ 0.801 & 136 & 4/5 \\ 0.199 & 136 & 1/5 \\ 0.993 & 134 & 1/1 \\ 0.799 & 134 & 4/5 \\ 0.201 & 134 & 1/5 \\ 0.007 & 134 & 0/1 \\ 0.715 & 123 & 5/7 \\ 0.285 & 123 & 2/7 \\ 0.992 & 118 & 1/1 \\ 0.669 & 118 & 2/3 \\ 0.331 & 118 & 1/3 \\ 0.008 & 118 & 0/1 \\ 0.504 & 113 & 1/2 \\ 0.496 & 113 & 1/2 \\ 0.555 & 110 & 5/9 \\ 0.445 & 110 & 4/9 \\ 0.664 & 107 & 2/3 \\ 0.336 & 107 & 1/3 \\ 0.991 & 106 & 1/1 \\ 0.858 & 106 & 6/7 \\ 0.142 & 106 & 1/7 \\ 0.009 & 106 & 0/1 \\ 0.748 & 103 & 3/4 \\ 0.252 & 103 & 1/4 \\ 0.752 & 101 & 3/4 \\ 0.248 & 101 & 1/4 \end{array} \]
재미있는 사실
- 한국프로야구통산3할3푼4리 달성한 타자
- 스탯티즈 검색결과
- 1982년 OB 신경식 3할3푼4리(98/293)
- 1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425)
- 2000년 한화 데이비스 3할3푼4리 (140/419)
- 2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR0w3XzlZUjZoajQ/edit
- 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator 참조
관련도서
- Fernando Rodriguez Villegas, Experimental Number Theory
관련링크 및 웹페이지
- 한국야구위원회 역대기록실
- 시즌 타자 순위, 네이버
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