타자의 타율과 연분수

수학노트
Wiessen (토론 | 기여)님의 2009년 8월 8일 (토) 07:25 판
둘러보기로 가기 검색하러 가기
문제

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

  • 타율계산은 안타/타수에서 소수 넷째자리에서 반올림

 

 

287타석을 얻는 법
  • 연분수 근사를 해보자.
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]
    \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\)
    \(\frac{96}{287}=0.334494\cdots \)
  • 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능

 

  • 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]
  • 629/1886 = 0.33351007423117707
  • 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator 참조

 

286타수 이하에서는 불가능함을 보이기

자연수 \(q\) 와 \(p<287\) 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.

\(|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\)

 

 

(증명)

\(3\leq p<287\) 인 경우에,

\(|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\)

 

\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

임을 보이면 된다.

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\)

의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k-%5Cfrac%7B2%7D%7B1000%7Dk%7C%5Cgeq%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%7C%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%7C%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

 

그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다.

\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7B334%7D%7B10000%7Dp%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">  (증명끝)

 

 

상위 주제

 

 

 

하위페이지

 

 

재미있는 사실

 

많이 나오는 질문과 답변

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

관련된 다른 주제들

 

관련도서 및 추천도서

 

참고할만한 자료

 

관련기사

 

 

블로그

 

이미지 검색

 

동영상
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=타자의_타율과_연분수&oldid=20458"