톨레미의 정리

수학노트
이동: 둘러보기, 검색

개요

  • 원에 내접하는 사각형의 변의 길이 사이의 관계

내접사각형에 대한 톨레미의 정리

(정리)

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다\[\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\]

톨레미.png

삼각함수 덧셈공식의 유도

  • \(AC=\sin (\theta_1+\varphi_3) \)
  • \(BD=\sin (\varphi_1+\varphi_4)=\sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
  • \(AB=\sin \theta_1 \)
  • \(CD=\sin \varphi_1 \)
  • \(BC=\sin \varphi_3 \)
  • \(AD=\sin \theta_3 \)
  • \(AC\cdot BD=\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
  • \(AB\cdot CD+BC\cdot AD=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3 \)
  • 톨레미의 정리 \[\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3)=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3\]
  • \(\theta_1+\varphi_3=\pi/2\)이면,\(\theta_3+\varphi_2=\theta_3+\varphi_1=\pi/2\) 이다.
  • 따라서 \(\sin (\theta_1+\varphi_3)=1,\sin \theta_1=\cos \varphi_3, \sin \theta_3=\cos \varphi_1 \)
  • 톨레미의 정리로부터 다음을 얻는다\[\sin (\varphi_1+\varphi_3)= \sin \varphi_1\cos \varphi_3+\sin \varphi_3\cos \varphi_1\]
  • 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식
  • http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml


메모


재미있는 사실

  • 톨레미 알마게스트의 사인표(정확히는 현의 길이) 계산에 이용됨



관련된 항목들



사전형태의 자료


관련도서

관련논문