파이가 아니라 2파이다?

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• 파이가 아니라 2파이다?

 

 

개요

• '만약에 \(\pi\)가 아니라 \(2\pi\)를 근본적인 상수로 정의했더라면 많은 것들이 더 간단해지지 않았을까?' 하는 주장
• \(2\pi\) 를 상수 \(\tau\)로 하자는 주장 The Tau Manifesto http://tauday.com/  도 등장함
  
  • 파이데이 3월 14일을 대신하여, 6월 28일을 타우데이로 ..
• 아래의 항목중 많은 것들은, 사실 원 위에서 한바퀴를 도는 것은  \(2\pi\)라디안만큼의 회전이라는 사실에서 기원한다.
• [Palais01] 참고

 

 

예

• 다각형의 외각의 합은 언제나 \(2\pi\) (라디안)
• 원의 넓이 
  \(\frac{1}{2} r^2 \times 2\pi\)
  삼각형의 넓이의 공식은  \(\frac{1}{2} bh\)  , 부채꼴의 넓이는 \( \frac{1}{2} r^2 \theta\) 이다
  
• 삼각함수의 주기
  \(\cos(x+2\pi) = \cos (x)\)
  \(\sin(x+2\pi) = \sin (x)\)
  
• 코시 적분 정리
  
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_integral_formula
    \(f(a)=\frac{1}{2\pi}\oint_C \frac{f(x)}{z-a}dz\)
    
• 푸리에 급수의 계수
  \(c(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{-i n x} \, dx\)
  
• 푸리에 변환
  \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)
  
• 단위근
  
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
    \(e^{2 \pi i \over n}\)
    
• 스털링 공식
  \(n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\)
  
• 정수에서의 리만제타함수의 값
•  
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)

숫자 12와 24

• 분할수의 생성함수(오일러 함수)
  \(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\to 0\) 일 때,  \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \frac{(2\pi)^2}{24\epsilon}\)
  
• 가우시안 적분
  \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\)
  
• 정규분포와 그 확률밀도함수
  \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} )\)
  
• 가우스-보네 정리
  \(\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)\)
  
• 디리클레 class number 공식
  \(\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)
  

• 각운동주기
  \(T = {{2 \pi} \over \omega }\)
  

• 플랑크 상수
  
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant
    \(\hbar = \frac{h}{2 \pi}\)
    

 

재미있는 사실

• \(\prod_{n=1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\)
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수

 

 

관련된 항목들

• 파이

• 파이값의 계산

 

 

관련논문

• [Palais01]Pi is Wrong!
  
  • Bob Palais, The Mathematical IntelligencerSpringer-Verlag New York Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8.
  • http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html

 

 

관련기사

• 'Tau day' marked by opponents of maths constant pi, Jason Palmer, BBC, 2011-6-28

 

 

동영상

• 지식채널e '끝없는 3.14'
  
  • 파이에 대한 짧은 동영상
• http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=