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2012년 11월 1일 (목) 14:27 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- '만약에 \(\pi\)가 아니라 \(2\pi\)를 근본적인 상수로 정의했더라면 많은 것들이 더 간단해지지 않았을까?' 하는 주장
- \(2\pi\) 를 상수 \(\tau\)로 하자는 주장 The Tau Manifesto http://tauday.com/ 도 등장함
- 파이데이 3월 14일을 대신하여, 6월 28일을 타우데이로 ..
- 아래의 항목중 많은 것들은, 원 위에서 한바퀴를 도는 것은 \(2\pi\)라디안만큼의 회전이라는 사실에서 기원한다.
- [Palais01] 참고
예
- 다각형의 외각의 합은 언제나 \(2\pi\) (라디안)
- 원의 넓이
\(\frac{1}{2} r^2 \times 2\pi\)
삼각형의 넓이의 공식은 \(\frac{1}{2} bh\) , 부채꼴의 넓이는 \( \frac{1}{2} r^2 \theta\) 이다 - 삼각함수의 주기
\(\cos(x+2\pi) = \cos (x)\)
\(\sin(x+2\pi) = \sin (x)\) - 코시 적분 정리 유수정리(residue theorem)[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_integral_formula
\(f(a)=\frac{1}{2\pi}\oint_C \frac{f(x)}{z-a}dz\) - 푸리에 급수의 계수
\(c(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{-i n x} \, dx\) - 푸리에 변환
\(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\) - 단위근 원분체 (cyclotomic field)[2][3][4][5]http://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
\(e^{2 \pi i \over n}\) - 스털링 공식
\( n! \approx \sqrt{2\pi} \sqrt{n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\) - 정수에서의 리만제타함수의 값
\(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수. - 가우시안 적분
\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\) - 정규분포와 그 확률밀도함수
\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} )\) - 가우스-보네 정리
\(\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)\) - 디리클레 class number 공식
\(\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\) - 각운동주기
\(T = {{2 \pi} \over \omega }\) - 플랑크 상수 h-bar [6][7]http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant
\(\hbar= \frac{h}{2 \pi}\)
재미있는 사실
- 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
\(\prod_{n=1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\)모든 자연수의 곱과 리만제타함수
\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)
- 분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\to 0\) 일 때, \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \frac{(2\pi)^2}{24\epsilon}\)
관련된 항목들
관련논문
- [Palais01]Pi is Wrong!
- Bob Palais, The Mathematical IntelligencerSpringer-Verlag New York Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8.
- http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html
관련기사
- 'Tau day' marked by opponents of maths constant pi, Jason Palmer, BBC, 2011-6-28
- 원주율 '파이(π)'의 시대는 끝났다? 유현민, 연합뉴스, 2011-06-28
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