파이가 아니라 2파이다?

개요

• '만약에 \(\pi\)가 아니라 \(2\pi\)를 근본적인 상수로 정의했더라면 많은 것들이 더 간단해지지 않았을까?' 하는 주장
• \(2\pi\) 를 상수 \(\tau\)로 하자는 주장 The Tau Manifesto http://tauday.com/ 도 등장함
  • 파이데이 3월 14일을 대신하여, 6월 28일을 타우데이로 ..
• 아래의 항목중 많은 것들은, 원 위에서 한바퀴를 도는 것은 \(2\pi\)라디안만큼의 회전이라는 사실에서 기원한다.
• [Palais01] 참고

예

• 다각형의 외각의 합은 언제나 \(2\pi\) (라디안)
• 원의 넓이 \[\frac{1}{2} r^2 \times 2\pi\]
• 삼각형의 넓이의 공식은 \(\frac{1}{2} bh\) , 부채꼴의 넓이는 \( \frac{1}{2} r^2 \theta\) 이다
• 삼각함수의 주기\[\cos(x+2\pi) = \cos (x)\]\[\sin(x+2\pi) = \sin (x)\]
• 코시 적분 정리 유수정리(residue theorem)[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_integral_formula\[f(a)=\frac{1}{2\pi}\oint_C \frac{f(x)}{z-a}dz\]
• 푸리에 급수의 계수\[c(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{-i n x} \, dx\]
• 푸리에 변환\[\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\]
• 단위근, 원분체 (cyclotomic field) http://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity

\[e^{2 \pi i \over n}\]

• 스털링 공식\[ n! \approx \sqrt{2\pi} \sqrt{n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\]
• 정수에서의 리만제타함수의 값\[\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\]여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수.
• 가우시안 적분\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\]
• 정규분포와 그 확률밀도함수\[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} )\]
• 가우스-보네 정리\[\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)\]
• 디리클레 class number 공식\[\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\]
• 각운동주기\[T = {{2 \pi} \over \omega }\]
• 플랑크 상수 h-bar [2][3]http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_constant\[\hbar= \frac{h}{2 \pi}\]

재미있는 사실

• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수\[\prod_{n=1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\]모든 자연수의 곱과 리만제타함수

• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)

숫자 12와 24

• 분할수의 생성함수(오일러 함수)\[q=e^{-\epsilon}\] 으로 두면 \(\epsilon\to 0\) 일 때, \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \frac{(2\pi)^2}{24\epsilon}\)

관련된 항목들

• 파이

• 파이값의 계산

관련논문

• [Palais01]Pi is Wrong!
  • Bob Palais, The Mathematical IntelligencerSpringer-Verlag New York Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8.
  • http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html

관련기사

• 'Tau day' marked by opponents of maths constant pi, Jason Palmer, BBC, 2011-6-28
• 원주율 '파이(π)'의 시대는 끝났다? 유현민, 연합뉴스, 2011-06-28
• 네이버 뉴스 검색
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=타우의날
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=타우데이

동영상

• 지식채널e '끝없는 3.14'
  • 파이에 대한 짧은 동영상