"파피안(Pfaffian)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 06:05 기준 최신판

개요

교대행렬(alternating matrix, 또는 skew-symmetric matrix)의 행렬식은 어떤 다항식의 제곱이 되는 성질을 가진다
교대행렬에 대해, 이 행렬식의 제곱근의 하나를 파피안으로 정의한다.
\( \operatorname{pf(A)}^2=\operatorname{det(A)}\)
\(\operatorname{pf}(BAB^T)= \det(B)\operatorname{pf}(A)\)

교대행렬과 행렬식

2×2 교대행렬\[\left( \begin{array}{cc} 0 & t_{1,2} \\ -t_{1,2} & 0 \end{array} \right)\] 의 행렬식 \(t_{1,2}^2\)
4×4 교대행렬\[\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} \\ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} \\ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} \\ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)\], 행렬식 \(\left(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\right){}^2\)
6×6 교대행렬\[\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} & t_{1,5} & t_{1,6} \\ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} & t_{2,5} & t_{2,6} \\ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & t_{3,6} \\ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & t_{4,5} & t_{4,6} \\ -t_{1,5} & -t_{2,5} & -t_{3,5} & -t_{4,5} & 0 & t_{5,6} \\ -t_{1,6} & -t_{2,6} & -t_{3,6} & -t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)\], 행렬식 \(\left(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\right){}^2\)

파피안

\(A=(t_{i,j})\) 로 주어진 교대행렬에 대하여 파피안을 다음과 같이 정의함\[\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}t_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}\]
n=1인 경우\[t_{1,2}\]
n=2인 경우\[t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\]
n=3 인 경우\[t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\]

메모

number of perfect matchings on a planar rectangular lattice
every non-zero term in the Pfaffian of the adjacency matrix of a graph G corresponds to a perfect matching.
통계물리에서 중요한 역할
도미노 타일링
다이머 모델
http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f887198315.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Hirota, Ryogo. "Determinants and Pfaffians." 数理解析研究所講究録 1302 (2003): 220-242. http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1302-14.pdf

메타데이터

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ID : Q1189744

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'pfaffian'}]

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 ==교대행렬과 행렬식==
-*  2×2 교대행렬:<math>\left( \begin{array}{cc}  0 & t_{1,2} \\  -t_{1,2} & 0 \end{array} \right)</math> 의 행렬식 <math>t_{1,2}^2</math><br>
+*  2×2 교대행렬:<math>\left( \begin{array}{cc}  0 & t_{1,2} \\  -t_{1,2} & 0 \end{array} \right)</math> 의 행렬식 <math>t_{1,2}^2</math>
-*  4×4 교대행렬:<math>\left( \begin{array}{cccc}  0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} \\  -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} \\  -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} \\  -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)</math>, 행렬식 <math>\left(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\right){}^2</math><br>
+*  4×4 교대행렬:<math>\left( \begin{array}{cccc}  0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} \\  -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} \\  -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} \\  -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)</math>, 행렬식 <math>\left(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\right){}^2</math>
-*  6×6 교대행렬:<math>\left( \begin{array}{cccccc}  0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} & t_{1,5} & t_{1,6} \\  -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} & t_{2,5} & t_{2,6} \\  -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & t_{3,6} \\  -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & t_{4,5} & t_{4,6} \\  -t_{1,5} & -t_{2,5} & -t_{3,5} & -t_{4,5} & 0 & t_{5,6} \\  -t_{1,6} & -t_{2,6} & -t_{3,6} & -t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)</math>,<br> 행렬식 <math>\left(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\right){}^2</math><br>
+*  6×6 교대행렬:<math>\left( \begin{array}{cccccc}  0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} & t_{1,5} & t_{1,6} \\  -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} & t_{2,5} & t_{2,6} \\  -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & t_{3,6} \\  -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & t_{4,5} & t_{4,6} \\  -t_{1,5} & -t_{2,5} & -t_{3,5} & -t_{4,5} & 0 & t_{5,6} \\  -t_{1,6} & -t_{2,6} & -t_{3,6} & -t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)</math>, 행렬식 <math>\left(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\right){}^2</math>
 ==파피안==
-* <math>A=(t_{i,j})</math> 로 주어진 교대행렬에 대하여 파피안을 다음과 같이 정의함:<math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}t_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}</math><br>
+* <math>A=(t_{i,j})</math> 로 주어진 교대행렬에 대하여 파피안을 다음과 같이 정의함:<math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}t_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}</math>
-*  n=1인 경우:<math>t_{1,2}</math><br>
+*  n=1인 경우:<math>t_{1,2}</math>
-*  n=2인 경우:<math>t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}</math><br>
+*  n=2인 경우:<math>t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}</math>
-*  n=3 인 경우:<math>t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}</math><br>
+*  n=3 인 경우:<math>t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}</math>
-==역사==
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사 연표]]
 ==메모==
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 * http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f887198315.pdf
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
@@ 57번째 줄: / 46번째 줄: @@
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APfaffian#Mathematica_code
 ==관련된 항목들==
@@ 66번째 줄: / 55번째 줄: @@
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian
 * http://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * Hirota, Ryogo. "Determinants and Pfaffians." 数理解析研究所講究録 1302 (2003): 220-242. http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1302-14.pdf
 ==관련논문==
@@ 82번째 줄: / 71번째 줄: @@
 *  Wu, F. Y. 2006. “Pfaffian solution of a dimer-monomer problem: Single monomer on the boundary.” <em>Physical Review E</em> 74 (2): 020104. doi:10.1103/PhysRevE.74.020104.
 ==관련도서==
@@ 93번째 줄: / 82번째 줄: @@
 [[분류:선형대수학]]
 [[분류:행렬식]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1189744 Q1189744]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'pfaffian'}]

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파피안

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