패리 수열(Farey series)

수학노트
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개요

  • Fn 은 0부터 1사이의 분모가 n이하인 기약분수의 집합
    • F1 = {0⁄1, 1⁄1}
    • F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
    • F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
    • F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
    • F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
    • F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}   
    • F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1/5, 1/4, 2/7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}

1984310-Farey Sequence(1).png

  • 두 분수에 대해 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 다음과 같이 정의하면,\[\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\]
  • 주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어지는 것을 관찰할 수 있다.
    • 이 관찰의 증명은 맨 아래의 '참고할만한 자료'에서 찾을 수 있음

 

 

인접합 두 수가 만족하는 성질

  • \(F_n\)의 인접한 두 분수, \(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

\[ad-bc=1\]

 

 

오늘은 이것을 증명한다. 이것을 증명하면, 초딩들의 꿈의 분수덧셈이 왜 참인지 쉽게 알 수 있다.

 

이제 문제를 기하학적으로 해석해 보자. F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1} 를 예를 들어 설명한다.

 

먼저 각각의 분수들에 대해, 좌표평면에다가 다음과 같은 방식의 대응관계를 찾아 점을 찍는다. 즉, $$ 0/1 \mapsto (1,0)\\ 1/5 \mapsto (5,1)\\ 1/4 \mapsto (4,1)\\ \cdots \\ 3/4 \mapsto (4,3)\\ 4/5 \mapsto (5,4)\\ 1/1 \mapsto (1,1)\\ $$


그러면 아래와 같은 그림이 얻어진다.

 


 

이 다음 각각의 좌표를 원점과 잇는 선분을 그린다.

 


 

각각의 분수들은 이와 같이 얻어진 직선의 기울기와 같다는 것을 알 수 있다. 인접한 두 분수는 인접한 두 직선으로 나타나고 있다.

 

이제 왜 인접한 \(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\), 가 \(ad-bc=1\)를 만족시키는가를 이해해 보자. 예를 들어, 1/2와 3/5는 인접해 있는데, 2×3-1×5=1을 만족시키고 있다. 이 상황을 기하학적으로 이해하자.

 

좌표평면 상에서 (0,0), (a,b), (c,d)이 그리는 격자삼각형을 생각해보자. ( (0,0),(2,1), (5,3) 의 경우를 구체적으로 생각해보라)

 

세 점을 이어서 삼각형을 그리게 되면, 이 삼각형은 그 내부와 경계에 (0,0), (a,b), (c,d)를 제외한 다른 격자들을 가지고 있지 않다. 이 관찰이 매우 중요하므로, 이것이 왜 참인지, \(F_n\)의 정의를 가지고 곰곰이 생각해보면 좋겠다.

 

이제 픽의 정리(Pick's Theorem)에 의해, 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2}\)가 된다. (I=0,B=3 인 경우) 픽의 정리는



 

를 말한다.한편 좌표평면 상에, 원점과 (a,b), (c,d) 세 점이 결정하는 삼각형의 넓이는 다음과 같이 주어진다. \[\frac{|ad-bc|}{2}\] 따라서 ad-bc가 양수라면, ad-bc=1이 성립해야만 한다.


패리 산수

\(\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

이제 목표했던 대로,

주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어진다.

를 증명한다. 지난 번 글에서는 다음 결과를 증명했다.

\(F_n\)의 인접한 두 분수,

\(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\)

사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

\(ad-bc=1\)

이제 이 결과를 이용해서, 초딩들의 꿈이 왜 참이 되는지를 증명한다.

\(F_n\)의 인접한 세 수를

\(\frac{b}{a} <\frac{x}{y} < \frac{d}{c}\)

라고 하면, 다음 식들을 얻게 된다.

\(ax-by=1\)\[dy-bx=1\]

두 식을 서로 뺀다.

\((ax-by)-(dy-cx)=0\)

\((a+c)x-(b+d)y=0\)

따라서,

\(\frac{x}{y}=\frac{b+d}{a+c}\)

따라서 초딩들의 꿈의 덧셈은 참이다.

주의

분수덧셈 배우는 초딩들 헷갈리는 사태가 발생할 수 있으므로, 초등학교에서는 교육을 권장하지 않음


F_n의 크기

 

 

메모

 

 

관련된 단원

  • 정수
    • 약수와 배수
    • 서로소

 

관련된 항목들

 

 

관련된 대학 수학

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전 형태의 자료

관련논문

  • Short, Ian, and Mairi Walker. “Even-Integer Continued Fractions and the Farey Tree.” arXiv:1508.01373 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01373.
  • Lagarias, Jeffery, and Harsh Mehta. ‘Products of Farey Fractions’. arXiv:1503.00199 [math], 28 February 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00199.
  • Neville, E. H. 1949. “The structure of Farey series”. Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series 51: 132–144.

 

 

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