페르마의 마지막 정리

개요

• 3 이상의 자연수 n 에 대하여, \(x^n+y^n=z^n\) 의 정수해를 모두 찾는 문제.
• 페르마는 1637년, x,y,z 가 모두 0 인 경우 외에는 해가 존재하지 않는다는 기록을 남김.
  

임의의 세제곱 수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 임의의 네제곱 수 역시 다른 두 네제곱 수의 합으로 표현될 수 없다.
일반적으로 3이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다.
나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 이 책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다.

• 증명은 1995년에야 앤드류 와일즈에 의해 얻어졌음.

 

 

프레이 타원곡선

\(\ell\) 홀수인 소수에 대하여, 0이 아닌 정수해 \(a^\ell + b^\ell = c^\ell\)가 존재한다고 가정하자.

타원곡선 \(y^2 = x(x - a^\ell)(x + b^\ell)\) 을 프레이의 타원곡선이라고 한다. (타원곡선 항목 참조)

프레이가 이 곡선의 이상한 행동을 발견

세르 : 엡실론 추측(epsilon conjecture) 에 의하면, 이 곡선은 모듈라 성질을 가질 수 없다.

리벳이 엡실론 추측을 증명

http://en.wikipedia.org/wiki/Ribet's_theorem

• 타니야마-시무라 추측에 의하면, 유리수체 위에 정의된 타원곡선은 모두 모듈라 성질을 가져야 한다.
• 따라서 타니야마-시무라 추측의 증명되면 페르마의 마지막 정리도 증명된다.

 

 

타니야마-시무라 추측

• 타니야마-시무라 추측(정리)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 복소함수론

 

 

관련된 대학원 과목

• 대수적수론

 

 

관련된 항목들

• 정규소수 (regular prime)
• 타원곡선
• 모듈라 형식(modular forms)
• L-함수, 제타함수와 디리클레 급수
• 타니야마-시무라 추측(정리)

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Fermats_Last_Theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat's_Last_Theorem_for_specific_exponents
• http://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ribet's_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Serre

 

일반인을 위한 참고도서와 참고자료

• 페르마의 마지막 정리
  
  • 사이먼 싱 저/박병철 역, 영림카디널
  • 페르마의 정리의 증명과 관련한 이야기들을 일반 독자들도 읽을 수 있게 풀어쓴 교양수학책.
• Fermat's Last Theorem
  
  • BBC 다큐멘터리

 

 

좀더 학술적인 참고도서

• Fermat's last theorem for amateurs
  
  • Paulo Ribenboim, 1999
• Fermat's Last Theorem : a genetic introduction to algebraic number theory
  
  • Harold M. Edwards, 1977

 

 

관련논문과 에세이

• Three Fermat Trails to Elliptic Curves
  
  • Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 3 (May, 2000), pp. 162-172
• A Marvelous Proof
  
  • Fernando Q. Gouvea, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 3 (Mar., 1994), pp. 203-222
• Introduction to Fermat's Last Theorem
  
  • David A. Cox, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 3-14
• Number Theory as Gadfly
  
  • B. Mazur, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610

 

전문적인 논문들

• Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem
  
  • Wiles, Andrew (1995),  Annals of Mathematics 141 (3): 443–551
  • pdf
• Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras
  
  • Richard Taylor and Andrew Wiles (May 1995),  Annals of Mathematics 141 (3): 553–572
• From the Taniyama-Shimura Conjecture to Fermat's Last Theorem
  
  • Ribet, K. A., Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 11, 116-139, 1990
• Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations
  
  • G Frey, Ann. Univ. Sarav. Ser. Math, 1986