평행이동과 홀로노미

수학노트
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개요

예

  • 구면이 \(\{R \cos (u) \cos (v),R \sin (u) \cos (v),R \sin (v)\}\) 로 매개화되었다고 하자
  • \(x^1=u, x^2=v\)로 두면,

\[ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x^{1}} &=& \left(-R \sin (u) \cos (v),R \cos (u) \cos (v),0\right) \\ \frac{\partial}{\partial x^{2}} &=& \left(-R \cos (u) \sin (v),-R \sin (u) \sin (v),R \cos (v)\right) \end{array} \]

  • 크리스토펠 기호는 다음과 같다

\[ \begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & 0 \\ \Gamma _{12}^1 & -\tan (v) \\ \Gamma _{21}^1 & -\tan (v) \\ \Gamma _{22}^1 & 0 \\ \Gamma _{11}^2 & \sin (v) \cos (v) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & 0 \end{array} \]

  • 곡선 \(\gamma\)가 위선(latitude)즉, \(\alpha(t)=(u(t),v(t))=(t,v_0)\)로 주어지는 경우를 생각하자
  • 벡터장 \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)이 \(\gamma\)를 따라 평행일 조건은, 공변미분(covariant derivative)이 0, 즉

\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\] 로 주어진다. 이를 다시 쓰면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다 \[ \begin{array}{l} Y_1'(t)-Y_2(t) \tan \left(v_0\right)&=&0 \\ Y_2'(t)+Y_1(t) \sin \left(v_0\right) \cos \left(v_0\right)&=&0 \end{array} \]


메모

  • holonomy = negative of angle defect = area x Gaussian curvature


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • holonomy - 대한수학회 수학용어집


리뷰논문, 에세이, 강의노트

  • Oprea, John. 1995. “Geometry and the Foucault Pendulum.” The American Mathematical Monthly 102 (6) (June 1): 515–522. doi:10.2307/2974765.
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