포흐하머 (Pochhammer) 기호

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 1월 20일 (목) 12:26 판
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개요
  •  

 

 

Pochhammer 기호
  • rising 팩토리얼이라 불리기도 함
    \((a)_0 = 1\)
    \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)
  • q-analogue
    \(n\in\mathbb{N}\) 인 경우
    \((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)
    \((a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots\)
    \((q)_{n} : =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)\)
    \((q)_{\infty} : =(q;q)_{\infty}= \prod_{k=1}^{\infty} (1-q^k)=(1-q)(1-q^2)\cdots\)
  • \(n\in\mathbb{Z}\) 인 경우
    \((a;q)_n :=\frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^n;q)_{\infty}}\)

 

예)

원소가 k개인 집합에서 n개인 집합으로 가는 단사함수의 개수

 

 

 

 

캐츠(Kac)의 기호
  • \(n\in\mathbb{N}\) 인 경우
    \({(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)
  • \(n\in\mathbb{Z}\) 인 경우
    \({(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^n;q)_{\infty}}=\frac{(1-a)_q^{\infty}}{(1-aq^n)_q^{\infty}}\)

 

 

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