푸앵카레 unit disk 모델

 

 

개요

• 쌍곡기하학의 모델

 

 

정의

• \(\mathbb{D}^2=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)

 

 

제1기본형식

• 리만 메트릭
  \(ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}[[:틀:\left(1-x^2-y^2\right)^2]]=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\)
  

• \(E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)
• \(F=0\)
• \(G=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)

 

크리스토펠 기호

• 크리스토펠 기호
  \(\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _{22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}\)
  
• 가우스곡률 은 -1 이다

 

 

라플라시안

• 라플라시안
  \(\Delta f=y^2(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2})\)
  

 

 

측지선

• 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다
  \(\frac{d^2 x }{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1 }}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0\)
  \(\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_{~2 2 }\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0\)
  
• 다시 쓰면 다음과 같다
  \(\ddot{x}y-2\dot{x}\dot{y}=0\)
  \(\ddot{y}y+(\dot{x})^2-(\dot{y})^2=0\)
  
• 미분방정식의 해는 적당한 상수 a,b,c,r 에 대하여 다음과 같이 주어진다
  실직선에 수직인 반원 \(x(t)=a+b\tanh(rt+c)\), \(y(t)=b\operatorname{sech}(rt+c)\)  (\(\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x\) 쌍곡함수)
  또는
  y-축과 평행한 직선 \(x(t)=a\), \(y(t)=be^{rt+c}\)
  
• http://cktalon.wordpress.com/2010/10/22/geodesics-poincare-half-plane/

 

 

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & -\frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \frac{1}{y^2} \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & \frac{1}{y^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & -\frac{1}{y^2} \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

•  
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_disk_model
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=