"푸앵카레 unit disk 모델"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
− | * [[쌍곡기하학]]의 | + | * [[쌍곡기하학]]의 모델이 되는 리만다양체 |
− | * [[푸앵카레 상반평면 모델]] 과 동형 | + | * [[푸앵카레 상반평면 모델]]과 동형 (리만다양체로서 또는 리만곡면으로서) |
− | |||
16번째 줄: | 15번째 줄: | ||
==제1기본형식== | ==제1기본형식== | ||
− | * 리만 메트릭:<math>ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}</math> | + | * 리만 메트릭:<math>ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}</math> |
− | |||
* <math>E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}</math> | * <math>E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}</math> | ||
* <math>F=0</math> | * <math>F=0</math> | ||
28번째 줄: | 26번째 줄: | ||
==크리스토펠 기호== | ==크리스토펠 기호== | ||
− | * [[크리스토펠 기호]]:<math>\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}</math><br> | + | * [[크리스토펠 기호]] |
+ | :<math>\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}</math><br> | ||
* [[가우스 곡률|가우스곡률]] 은 -1 이다 | * [[가우스 곡률|가우스곡률]] 은 -1 이다 | ||
2013년 6월 8일 (토) 02:04 판
개요
- 쌍곡기하학의 모델이 되는 리만다양체
- 푸앵카레 상반평면 모델과 동형 (리만다양체로서 또는 리만곡면으로서)
정의
- \(\mathbb{D}^2=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)
제1기본형식
- 리만 메트릭\[ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\]
- \(E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)
- \(F=0\)
- \(G=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)
크리스토펠 기호
\[\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}\]
- 가우스곡률 은 -1 이다
라플라시안
- 라플라시안\[\Delta f=\frac{1}{4} \left(1-x^2-y^2\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)\]
측지선
- 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다
\[\frac{d^2 x}{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0\]
\[\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_ {~2 2}\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0\]
- 계산된 크리스토펠 심볼을 사용하면\[x''(t)+\frac{2 x y'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{2 x x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 y x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0\]\[y''(t)-\frac{2 y y'(t)^2}{x^2+y^2-1}+\frac{2 y x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 x x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0\]
리만 텐서
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_ {111}^1 & 0 \\ R_ {112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^1 & 0 \\ R_ {122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^1 & 0 \\ R_ {212}^1 & -\frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^1 & \frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \\ R_ {222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {111}^2 & 0 \\ R_ {112}^2 & \frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^2 & -\frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \\ R_ {122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^2 & 0 \\ R_ {212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^2 & 0 \\ R_ {222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)
역사
메모
- http://egl.math.umd.edu/software.html
- http://www-users.math.umd.edu/~rfhoban/Shadows/PoincareUnitDisk.nb
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료