"프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 유한차원 단순리대수 $\mathfrak{g}$의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, $V_{\lambda}$를 weight $\lambda \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자
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* 유한차원 단순리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, <math>V_{\lambda}</math>를 weight <math>\lambda \in P</math>에 대응되는 <math>V</math>의 weight space라 하자
 
;정리 (프로이덴탈)
 
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$\Lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\Lambda)$에 대하여 $m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}$는 다음을 만족한다
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<math>\Lambda</math>를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 <math>V=L(\Lambda)</math>에 대하여 <math>m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}</math>는 다음을 만족한다
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:<math>
 
(||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha}
 
(||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha}
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$$
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</math>
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여기서 $(\cdot,\cdot)$은 $\mathfrak{g}$의 킬링 형식
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여기서 <math>(\cdot,\cdot)</math>은 <math>\mathfrak{g}</math>의 킬링 형식
  
  

2020년 11월 13일 (금) 07:01 기준 최신판

개요

  • 유한차원 단순리대수 \(\mathfrak{g}\)의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, \(V_{\lambda}\)를 weight \(\lambda \in P\)에 대응되는 \(V\)의 weight space라 하자
정리 (프로이덴탈)

\(\Lambda\)를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 \(V=L(\Lambda)\)에 대하여 \(m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}\)는 다음을 만족한다 \[ (||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha} \] 여기서 \((\cdot,\cdot)\)은 \(\mathfrak{g}\)의 킬링 형식


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관련논문

  • Bremner, Murray R. “Fast Computation of Weight Multiplicities.” Journal of Symbolic Computation 2, no. 4 (December 1986): 357–62. doi:10.1016/S0747-7171(86)80003-7.
  • Moody, R. V., and J. Patera. “Fast Recursion Formula for Weight Multiplicities.” Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society 7, no. 1 (July 1982): 237–42.
  • Agrawala, Vishnu K., and Johan G. Belinfante. “Weight Diagrams for Lie Group Representations: A Computer Implementation of Freudenthal’s Algorithm in ALGOL and FORTRAN.” BIT Numerical Mathematics 9, no. 4 (December 1969): 301–14. doi:10.1007/BF01935862.
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