프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)

개요

• 유한차원 단순리대수 $\mathfrak{g}$의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, $V_{\lambda}$를 weight $\lambda \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자

정리 (프로이덴탈)

$\Lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\Lambda)$에 대하여 $m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}$는 다음을 만족한다 $$ (||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha} $$ 여기서 $(\cdot,\cdot)$은 $\mathfrak{g}$의 킬링 형식

관련된 항목들

• 바일 지표 공식 (Weyl character formula)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTEZCeWFxQWtULUk/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://people.brandeis.edu/~igusa/Math223aF11/Notes223a24a.pdf

관련논문

• Bremner, Murray R. “Fast Computation of Weight Multiplicities.” Journal of Symbolic Computation 2, no. 4 (December 1986): 357–62. doi:10.1016/S0747-7171(86)80003-7.
• Moody, R. V., and J. Patera. “Fast Recursion Formula for Weight Multiplicities.” Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society 7, no. 1 (July 1982): 237–42.
• Agrawala, Vishnu K., and Johan G. Belinfante. “Weight Diagrams for Lie Group Representations: A Computer Implementation of Freudenthal’s Algorithm in ALGOL and FORTRAN.” BIT Numerical Mathematics 9, no. 4 (December 1969): 301–14. doi:10.1007/BF01935862.