피타고라스 쌍(Pythagorean triple)

수학노트
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개요

  • \(a^2+b^2=c^2\)를 만족시키는 자연수쌍 \((a,b,c)\)


정리

  • 부정방정식 \(a^2+b^2=c^2\) 의 모든 정수해는, 정수 \(p, q\) 에 대하여 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 꼴로 나타낼 수 있다.



증명

\(x^2+y^2=z^2\)의 정수해를 모두 구하면 된다.

\(z \neq0\) 을 가정하면, \(x^2+y^2=z^2\) 의 서로소인 정수해는 단위원 \(x^2+y^2=1\) 상의 유리수해와 일대일대응된다.

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단위원과 \((-1,0)\) 를 지나는 기울기가 유리수 \(t=\frac{q}{p}\) (\(p,q\)는 서로소) 인 직선의 교점을 생각하자.

교점의 좌표는 \((\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})\) 로 주어진다. 여기서 \(\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\), \(\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}\)를 얻는다.

따라서 정수해 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 를 얻는다.



역사



메모

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