"피타고라스 쌍(Pythagorean triple)"의 두 판 사이의 차이

2009년 10월 20일 (화) 17:10 판

부정방정식 \(a^2+b^2=c^2\) 의 모든 정수해는, 정수 \(p, q\) 에 대하여 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 꼴로 나타낼 수 있다.

\(x^2+y^2=z^2\)의 정수해를 모두 구하면 된다.

\(z\neq0\) 을 가정하면, \(x^2+y^2=z^2\) 의 서로소인 정수해는 단위원 \(x^2+y^2=1\) 상의 유리수해와 일대일대응된다.

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단위원과 \((-1,0)\) 를 지나는 기울기가 유리수 \(t=\frac{p}{q}\) 인 직선의 교점을 생각하자.

교점의 좌표는 \((\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})\) 로 주어진다.

\(\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\), \(\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}\)를 얻는다.

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 <h5>증명</h5>
-<math>x^2+y^2=z^2</math>의 정수해는 단위원 <math>x^2+y^2=1</math> 의 유리수해를 통해 얻을 수 있다.
+<math>x^2+y^2=z^2</math>의 정수해를 모두 구하면 된다.
+<math>z\neq0</math> 을 가정하면, <math>x^2+y^2=z^2</math> 의 서로소인 정수해는 단위원 <math>x^2+y^2=1</math> 상의 유리수해와 일대일대응된다.
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-단위원과 <math>(-1,0)</math> 를 지나는 기울기가 <math>t</math>인 직선의 교점을 생각하자.
+단위원과 <math>(-1,0)</math> 를 지나는 기울기가 유리수 <math>t=\frac{p}{q}</math> 인 직선의 교점을 생각하자.
 교점의 좌표는 <math>(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})</math> 로 주어진다.
+<math>\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}</math>, <math>\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}</math>를 얻는다.