하이젠베르크 군과 대수

수학노트
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개요



유한차원 하이젠베르크 대수

  • 가환 리대수의 1차원 중심 확대(central extension)
  • \([p_i, q_j] = \delta_{ij}z\)
  • \([p_i, z] = 0\)
  • \([q_j, z] = 0\)


3차원 하이젠베르크 군과 대수의 예

하이젠베르크 대수

  • 위삼각행렬(upper triangular matrix) \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)를 3차원 하이젠베르크 대수 $\mathfrak{h}$의 원소\((p,q,c)=pP+qQ+cC\)로 이해할 수 있다
  • 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다\[[\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc} 0 & p' & c' \\ 0 & 0 & q' \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)]=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & p q'-q p' \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]

하이젠베르크 군

  • 지수함수를 이용하여, 하이젠베르크 군 $\mathbb{H}$을 정의할 수 있다

$$\exp:\mathfrak{h} \to \mathbb{H}$$

  • $\mathbb{H}$의 원소는 다음과 같은 형태로 주어진다

$$ \exp(pP+qQ+cC)=\exp \begin{pmatrix} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & p & c+\frac{p q}{2} \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

  • $\mathbb{H}$의 원소를 $(p,q,c)\in \mathfrak{h}$로 나타내면, $\mathbb{H}$에서의 곱셈은 다음과 같이 주어진다

$$ (p,q,c)(p',q',c')=(p+p',q+q',c+c'+\frac{1}{2}(pq'-qp')) $$

$$ \exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+\frac{1}{2}[A,B]) $$

자기동형군

  • 겹선형형식 $(pq'-qp')$를 보존하는 $A:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}$는 자기동형군의 원소가 된다
  • 즉 크기가 2인 사교 행렬은 하이젠베르크 군의 자기동형군의 원소이다


역사



메모



관련된 항목들


수학용어번역

  • central - 대한수학회 수학용어집
    • central extension 중심 확대
  • bilinear - 대한수학회 수학용어집
    • bilinear form 겹선형형식


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

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