행렬의 대각합 (trace)
정의
- $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$ 의 대각성분의 합 $\operatorname{tr}(A)$ 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다
$$ \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} $$
성질
- $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$
- $\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)$
행렬의 곱과 대각합
두 행렬의 곱=
- 두 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여, $AB$의 대각합은 다음과 같이 주어진다
$$ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} $$
- $n=2$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}$
- $n=3$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}$
세 행렬의 곱
- 세 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, $C=(c_{ij})$에 대하여, $ABC$의 대각합은 다음과 같이 주어진다
$$ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki} $$
- $n=2$인 경우
$$\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}$$
- $n=3$인 경우
$$ \begin{aligned} \operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,1} c_{1,3}+a_{3,2} b_{2,1} c_{1,3}+a_{3,3} b_{3,1} c_{1,3}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{1,3} b_{3,2} c_{2,1}\\ &+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} c_{2,2}+a_{3,1} b_{1,2} c_{2,3}+a_{3,2} b_{2,2} c_{2,3}+a_{3,3} b_{3,2} c_{2,3}\\ &+a_{1,1} b_{1,3} c_{3,1}+a_{1,2} b_{2,3} c_{3,1}+a_{1,3} b_{3,3} c_{3,1}+a_{2,1} b_{1,3} c_{3,2}+a_{2,2} b_{2,3} c_{3,2}+a_{2,3} b_{3,3} c_{3,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3} \end{aligned} $$
수학용어번역
- 대각합, trace - 대한수학회 수학용어집
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