행렬의 대각합 (trace)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여) 사용자의 2015년 1월 14일 (수) 03:41 판 (세 행렬의 곱)

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정의

  • $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$ 의 대각성분의 합 $\operatorname{tr}(A)$ 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다

$$ \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} $$


성질

  • $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$
  • $\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)$


행렬의 곱과 대각합

두 행렬의 곱=

  • 두 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여, $AB$의 대각합은 다음과 같이 주어진다

$$ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} $$

  • $n=2$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}$
  • $n=3$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}$

세 행렬의 곱

  • 세 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, $C=(c_{ij})$에 대하여, $ABC$의 대각합은 다음과 같이 주어진다

$$ \operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki} $$

  • $n=2$인 경우

$$\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}$$

  • $n=3$인 경우

$$ \begin{aligned} \operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,1} c_{1,3}+a_{3,2} b_{2,1} c_{1,3}+a_{3,3} b_{3,1} c_{1,3}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{1,3} b_{3,2} c_{2,1}\\ &+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} c_{2,2}+a_{3,1} b_{1,2} c_{2,3}+a_{3,2} b_{2,2} c_{2,3}+a_{3,3} b_{3,2} c_{2,3}\\ &+a_{1,1} b_{1,3} c_{3,1}+a_{1,2} b_{2,3} c_{3,1}+a_{1,3} b_{3,3} c_{3,1}+a_{2,1} b_{1,3} c_{3,2}+a_{2,2} b_{2,3} c_{3,2}+a_{2,3} b_{3,3} c_{3,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3} \end{aligned} $$

수학용어번역

  • 대각합, trace - 대한수학회 수학용어집


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