행렬의 크로네커 곱 (Kronecker product)

수학노트
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개요

  • 두 행렬의 텐서곱 개념
  • 두 유한차원 벡터공간 V, W 를 정의역으로 하는 선형사상 A, B 에 대하여, \(V\otimes W\) 를 정의역으로 하는 선형사상 \(A\otimes B\) 을 다음과 같이 정의할 수 있다

$$ (A\otimes B)(v\otimes w)=A(v)\otimes B(w) $$

  • \(A\otimes B\) 의 행렬표현으로부터 행렬의 크로네커 곱을 얻을 수 있다
  • $A=(a_{ij})$로 두면, $A\otimes B=(a_{ij}B)$
  • $C=A\otimes B$, $\mathbf{i}=(i,i')$, $\mathbf{j}=(j,j')$로 두면, $C_{\mathbf{i},\mathbf{j}}=A_{i,j}B_{i',j'}$


 

\(A=\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)\)

\(B=\left( \begin{array}{ccc} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} \\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} \end{array} \right)\)

\(A\otimes B=\left( \begin{array}{cccccc} a_{1,1} b_{1,1} & a_{1,1} b_{1,2} & a_{1,1} b_{1,3} & a_{1,2} b_{1,1} & a_{1,2} b_{1,2} & a_{1,2} b_{1,3} \\ a_{1,1} b_{2,1} & a_{1,1} b_{2,2} & a_{1,1} b_{2,3} & a_{1,2} b_{2,1} & a_{1,2} b_{2,2} & a_{1,2} b_{2,3} \\ a_{1,1} b_{3,1} & a_{1,1} b_{3,2} & a_{1,1} b_{3,3} & a_{1,2} b_{3,1} & a_{1,2} b_{3,2} & a_{1,2} b_{3,3} \\ a_{2,1} b_{1,1} & a_{2,1} b_{1,2} & a_{2,1} b_{1,3} & a_{2,2} b_{1,1} & a_{2,2} b_{1,2} & a_{2,2} b_{1,3} \\ a_{2,1} b_{2,1} & a_{2,1} b_{2,2} & a_{2,1} b_{2,3} & a_{2,2} b_{2,1} & a_{2,2} b_{2,2} & a_{2,2} b_{2,3} \\ a_{2,1} b_{3,1} & a_{2,1} b_{3,2} & a_{2,1} b_{3,3} & a_{2,2} b_{3,1} & a_{2,2} b_{3,2} & a_{2,2} b_{3,3} \end{array} \right)\)

 

\(v=\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right)\)

\(w=\left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right)\)

\(v\otimes w= \left( \begin{array}{c} v_1 w_1 \\ v_1 w_2 \\ v_1 w_3 \\ v_2 w_1 \\ v_2 w_2 \\ v_2 w_3 \end{array} \right)\)

 

\(Av \otimes Bw = (A\otimes B)( v\otimes w) =\left( \begin{array}{c} v_1 w_1 a_{1,1} b_{1,1}+v_2 w_1 a_{1,2} b_{1,1}+v_1 w_2 a_{1,1} b_{1,2}+v_2 w_2 a_{1,2} b_{1,2}+v_1 w_3 a_{1,1} b_{1,3}+v_2 w_3 a_{1,2} b_{1,3} \\ v_1 w_1 a_{1,1} b_{2,1}+v_2 w_1 a_{1,2} b_{2,1}+v_1 w_2 a_{1,1} b_{2,2}+v_2 w_2 a_{1,2} b_{2,2}+v_1 w_3 a_{1,1} b_{2,3}+v_2 w_3 a_{1,2} b_{2,3} \\ v_1 w_1 a_{1,1} b_{3,1}+v_2 w_1 a_{1,2} b_{3,1}+v_1 w_2 a_{1,1} b_{3,2}+v_2 w_2 a_{1,2} b_{3,2}+v_1 w_3 a_{1,1} b_{3,3}+v_2 w_3 a_{1,2} b_{3,3} \\ v_1 w_1 a_{2,1} b_{1,1}+v_2 w_1 a_{2,2} b_{1,1}+v_1 w_2 a_{2,1} b_{1,2}+v_2 w_2 a_{2,2} b_{1,2}+v_1 w_3 a_{2,1} b_{1,3}+v_2 w_3 a_{2,2} b_{1,3} \\ v_1 w_1 a_{2,1} b_{2,1}+v_2 w_1 a_{2,2} b_{2,1}+v_1 w_2 a_{2,1} b_{2,2}+v_2 w_2 a_{2,2} b_{2,2}+v_1 w_3 a_{2,1} b_{2,3}+v_2 w_3 a_{2,2} b_{2,3} \\ v_1 w_1 a_{2,1} b_{3,1}+v_2 w_1 a_{2,2} b_{3,1}+v_1 w_2 a_{2,1} b_{3,2}+v_2 w_2 a_{2,2} b_{3,2}+v_1 w_3 a_{2,1} b_{3,3}+v_2 w_3 a_{2,2} b_{3,3} \end{array} \right)\)

 

 

 

 

 

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리뷰, 에세이, 강의노트

  • Loan, Charles F. Van. “The Ubiquitous Kronecker Product.” Journal of Computational and Applied Mathematics, Numerical Analysis 2000. Vol. III: Linear Algebra, 123, no. 1–2 (November 1, 2000): 85–100. doi:10.1016/S0377-0427(00)00393-9.
  • Henderson, Harold V., Friedrich Pukelsheim, and Shayle R. Searle. “On the History of the Kronecker Product.” Linear and Multilinear Algebra 14, no. 2 (October 1, 1983): 113–20. doi:10.1080/03081088308817548.