흡수벽이 있는 확산의 생존확률(survival probability of diffusion: absorption mode)
앞 글에 소개한 책 <첫통과 과정 안내>(2001)의 2.2.1절(40-41쪽)에 있는 내용을 정리하겠습니다. 앞 글에서도 그랬고 이 책에서 다루는 현상은 '확산(diffusion)' 또는 '마구 걷개(random walk)'입니다. 확산과 마구 걷개가 같은 개념 아닌가 싶기도 하고 그래도 뭔가 다르다는 느낌도 듭니다. 마구 걷개를 무한히 많이 모아놓으면 이로부터 확산이 관찰된다... 다시 말해서 '거시적' 확산의 '미시적' 메커니즘이 마구 걷개다.랄까요. 그럼 마구 걷개를 '유한개'만 모아놓으면? 무한히 많을 때의 확산에 '유한크기에 의한 보정'을 줄 수 있겠죠.
이 글에서는 무한히 펼쳐진 공간이 아니라 길이가 유한한 구간 안에서 일어나는 확산을 다룹니다. 게다가 확산하다가, 즉 마구 걷개들이 마구 걷다가;;; 구간의 끝에 다다르면 사라져버리는 '흡수 방식(absorption mode)'을 생각합니다. 사라지지 않고 남은 걷개들의 비율, 즉 살아남을 확률, 즉 생존확률이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 계산하려고 합니다.
시각 t에 위치 x에 있는 걷개들의 농도(concentration)를 c(x,t)라 씁니다. 길이가 L인 유한한 구간은 [0,L]로 씁니다. 처음(t=0) 농도의 총합은 1이라고 합시다.
\(\int_0^L c(x,t=0)dx=1\)
생존확률은 다음처럼 정의됩니다.
\(S(t)\equiv \int_0^L c(x,t)dx\)
농도의 확산은 다음 방정식으로 기술됩니다.
\(\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^2 c(x,t)}{\partial x^2}\)
구간의 끝에서 사라지는 조건, 즉 흡수벽(absorbing wall)과 같은 경계조건은 다음처럼 나타냅니다.
\(c(0,t)=c(L,t)=0\)
보시다시피 운동방정식과 그 경계조건이 주어져 있고 이로부터 구하고자 하는 생존확률까지 잘 정의되었지요. 이제 잘 풀면 됩니다. 하는김에 푸는 과정도 쓰겠습니다. c의 변수가 분리된다고 합시다.
\(c(x,t)=f(t)g(x)\)
이걸 운동방정식에 넣으면 아래 왼쪽이 됩니다. f 위의 점은 t로 미분, g 위의 '은 x로 미분을 뜻합니다.
\(\frac{\dot f}{f}=D\frac{g''}{g} \to \dot f=-kf,\ Dg''=-kg\)
그런데 왼쪽 식에서 좌변은 t만의 함수, 우변은 x만의 함수이므로 양변은 모두 어떤 상수라고 볼 수 있습니다. 이걸 -k라고 합시다. 그럼 위 오른쪽처럼 두 개의 방정식으로 분리됩니다. g의 방정식은 sin(nπx/L) (n은 정수)꼴이어야 경계조건을 만족시킵니다. 각 n에 대해 k가 달라지는데 다음과 같습니다.
\(k_n=D(n\pi/L)^2\)
그럼 각 n에 대해 f의 방정식의 k도 kn이 되겠죠. 이걸 다 모으면 아래 결과를 얻습니다.
\(c(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-(\frac{n\pi}{L})^2Dt}\)
c(x,0)에 대한 정보가 초기조건으로 주어지면 이로부터 An이 결정되겠죠. 이걸 x로 적분하면 생존확률이 나옵니다. 이 결과를 자세히 보면 n에 상관없이 모두 지수함수로 줄어드는데, n이 커질수록 더 빨리 줄어듭니다. 가장 느리게 줄어드는 항이 t가 클 때의 행동을 좌우할 겁니다. 즉 n=1인 항이 중요하다는 말이죠.
\(S(t)\propto e^{-t/\tau_1},\ \tau_1=L^2/D\pi^2\)
이렇게 됩니다. 즉 구간 내부에서 출발한 마구 걷개가 마구 걷다가 흡수벽을 만나 사라질 때까지 대략 구간의 길이 L의 제곱에 비례하는 시간이 걸립니다. 끝.