영 태블로(Young tableau)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2021년 2월 17일 (수) 02:29 판
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개요

  • 영 다이어그램 또는 Ferrers Diagram


영 다이어그램

  • 자연수 \(d\)의 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\,; \lambda_1+\cdots+\lambda_n=d\]

에 대응되는 다이어그램

  • 7의 분할 \((4,2,1)\)의 경우, 영 다이어그램은 다음과 같다

\[ \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \text{} & \text{} \\ \square & \text{} & \text{} & \text{} \end{array} \]


영 태블로

  • 자연수의 분할에 대응되는 영 다이어그램 \(\lambda\)에 있는 상자에, 적당한 원소를 채워넣어 얻어진다

표준 영 태블로

  • 주어진 자연수 \(n\)의 분할에 대응되는 영 다이어그램 \(\lambda\)에 있는 \(n\)개의 상자에, \(\{1,2,\cdots,n\}\)의 원소을 채워넣어 얻어진다
  • 영 태블로의 각 행과 열을 따라 수가 강하게 증가(strictly increasing)할 때 이를 표준 영 태블로(standard Young tableau)라 한다
  • 대칭군 (symmetric group) \(S_n\)의 \(\lambda\)에 대응되는 기약표현의 기저와 대응된다
  • 주어진 분할에 대한 표준 영 태블로의 개수는 갈고리 길이 공식 (hook length formula)으로 주어진다


준표준 영 태블로

  • 자연수 \(N\)의 분할에 대응되는 영 다이어그램 \(\lambda\)에 있는 \(N\)개의 상자에, \(\{1,2,\cdots,n\}\)의 원소을 채워넣어 얻어진다
  • 영 태블로의 각 열을 따라 수가 강하게 증가(strictly increasing)하고 각 행을 따라 수가 약하게 증가(weakly increasing)할 때 이를 준표준 영 태블로(semistandard Young tableau)라 한다
  • \(\rm{gl}_n\)의 \(\lambda\)에 대응되는 기약표현의 기저와 대응된다
  • 분할 \(\lambda\) 형태의 준표준 영 태블로의 집합으로부터 슈르 다항식(Schur polynomial)을 기술할 수 있다


표준 영 태블로

  • 7의 분할 \((4,2,1)\)의 영 다이어그램에 다음과 같은 수를 채워넣어 얻어진다

\begin{array}{ccc} \{1,4,6,7\} & \{2,5\} & \{3\} \\ \{1,3,6,7\} & \{2,5\} & \{4\} \\ \{1,2,6,7\} & \{3,5\} & \{4\} \\ \{1,3,6,7\} & \{2,4\} & \{5\} \\ \{1,2,6,7\} & \{3,4\} & \{5\} \\ \{1,4,5,7\} & \{2,6\} & \{3\} \\ \{1,3,5,7\} & \{2,6\} & \{4\} \\ \{1,2,5,7\} & \{3,6\} & \{4\} \\ \{1,3,4,7\} & \{2,6\} & \{5\} \\ \{1,2,4,7\} & \{3,6\} & \{5\} \\ \{1,2,3,7\} & \{4,6\} & \{5\} \\ \{1,3,5,7\} & \{2,4\} & \{6\} \\ \{1,2,5,7\} & \{3,4\} & \{6\} \\ \{1,3,4,7\} & \{2,5\} & \{6\} \\ \{1,2,4,7\} & \{3,5\} & \{6\} \\ \{1,2,3,7\} & \{4,5\} & \{6\} \\ \{1,4,5,6\} & \{2,7\} & \{3\} \\ \{1,3,5,6\} & \{2,7\} & \{4\} \\ \{1,2,5,6\} & \{3,7\} & \{4\} \\ \{1,3,4,6\} & \{2,7\} & \{5\} \\ \{1,2,4,6\} & \{3,7\} & \{5\} \\ \{1,2,3,6\} & \{4,7\} & \{5\} \\ \{1,3,4,5\} & \{2,7\} & \{6\} \\ \{1,2,4,5\} & \{3,7\} & \{6\} \\ \{1,2,3,5\} & \{4,7\} & \{6\} \\ \{1,2,3,4\} & \{5,7\} & \{6\} \\ \{1,3,5,6\} & \{2,4\} & \{7\} \\ \{1,2,5,6\} & \{3,4\} & \{7\} \\ \{1,3,4,6\} & \{2,5\} & \{7\} \\ \{1,2,4,6\} & \{3,5\} & \{7\} \\ \{1,2,3,6\} & \{4,5\} & \{7\} \\ \{1,3,4,5\} & \{2,6\} & \{7\} \\ \{1,2,4,5\} & \{3,6\} & \{7\} \\ \{1,2,3,5\} & \{4,6\} & \{7\} \\ \{1,2,3,4\} & \{5,6\} & \{7\} \end{array}

  • 이렇게 얻어진 35개의 표준 영 태블로는 다음과 같다

\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{4} & \boxed{6} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{3} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{6} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{4} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{6} & \boxed{7} \\ \boxed{3} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{4} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{6} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{4} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{6} & \boxed{7} \\ \boxed{3} & \boxed{4} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{4} & \boxed{5} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{3} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{5} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{4} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{5} & \boxed{7} \\ \boxed{3} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{4} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{4} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{4} & \boxed{7} \\ \boxed{3} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{7} \\ \boxed{4} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{5} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{4} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{5} & \boxed{7} \\ \boxed{3} & \boxed{4} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{4} & \boxed{7} \\ \boxed{2} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{4} & \boxed{7} \\ \boxed{3} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{7} \\ \boxed{4} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{4} & \boxed{5} & \boxed{6} \\ \boxed{2} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{3} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{5} & \boxed{6} \\ \boxed{2} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{4} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{5} & \boxed{6} \\ \boxed{3} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{4} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{4} & \boxed{6} \\ \boxed{2} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{4} & \boxed{6} \\ \boxed{3} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{6} \\ \boxed{4} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{5} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{4} & \boxed{5} \\ \boxed{2} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{4} & \boxed{5} \\ \boxed{3} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{5} \\ \boxed{4} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{4} \\ \boxed{5} & \boxed{7} & \text{} & \text{} \\ \boxed{6} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{5} & \boxed{6} \\ \boxed{2} & \boxed{4} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{5} & \boxed{6} \\ \boxed{3} & \boxed{4} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{4} & \boxed{6} \\ \boxed{2} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{4} & \boxed{6} \\ \boxed{3} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{6} \\ \boxed{4} & \boxed{5} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{3} & \boxed{4} & \boxed{5} \\ \boxed{2} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{4} & \boxed{5} \\ \boxed{3} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{5} \\ \boxed{4} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array},\begin{array}{cccc} \boxed{1} & \boxed{2} & \boxed{3} & \boxed{4} \\ \boxed{5} & \boxed{6} & \text{} & \text{} \\ \boxed{7} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array}


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 참고자료

리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Carsten Schneider, Robin Sulzgruber, Asymptotic and exact results on the complexity of the Novelli--Pak--Stoyanovskii algorithm, arXiv:1606.07597 [math.CO], June 24 2016, http://arxiv.org/abs/1606.07597

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'young'}, {'LEMMA': 'tableau'}]
  • [{'LOWER': 'young'}, {'LEMMA': 'diagram'}]