등비수열

수학노트
(02 등비수열에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

개요

  • \(1, 2, 4, 8, 16, \cdots \)와 같이 인접한 두 항의 비가 일정한 수열
  • 이전의 항에 일정한 숫자를 곱해 얻어진다

 

등비수열

  • 일반항 : 처음 \(a_1 \)항  와 곱해 주는 수  \(r \)이 이루는 등비수열 \[a_n=a_1\times r^{n-1}\]
  • 점화식 \[\frac{a_n}{a_{n-1}}=r\]. 이때 \(r\)은 <공비> 라고 부른다.
  • 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다.
  • 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다.


등비수열의 합

  • $a_n=a \times r^{n-1}$이라 하자
  • 다음이 성립한다

$$ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{a \left(1-r^n\right)}{1-r} $$  

역사

 

 

메모

  • $s$ : 자연수, $m$ : 음이 아닌 정수
  • $J=\{(j_1,\cdots,j_s)\in \mathbb{Z}^s|j_1+\cdots+j_s=m, j_i\geq 0\}$.

$$ \sum_{j\in J} \xi_1^{j_1} \cdots \xi_s^{j_s} = \sum_{i=1}^s \frac{\xi_i^m}{\prod_{k=1,(k \ne i)}^s (1-\xi_k/\xi_i)}, $$


 

관련된 항목들

   

매스매티카 파일 및 계산 리소스